Gerade und ungerade Zustände eines endlichen 1D-Potenzialtopfs

Ich nehme an, OP bedeutet ein gleichmäßiges Potenzial$V(x)~=~V(-x)$B. ein endliches quadratisches Wannenpotential$V(x) ~\propto~ \theta(|x|-a)$.

Dann lautet die Antwort auf die Frage (v1) Nein.

Skizzierter Beweis: Unter der Annahme, dass$V$ist gerade, der Hamiltonian

$$H= \frac{p^2}{2m}+V(x)$$ dann kommutiert mit dem Paritätsoperator $P$. Also die Betreiber $H$Und $P$können gleichzeitig diagonalisiert werden. Es existiert also ein vollständiger Satz von Energieeigenzuständen, die entweder gerade oder ungerade sind. Nennen wir sie $e_i(x)=e_i(-x)$Und $o_j(x)=-o_j(-x)$, bzw. Ein zunächst gleichmäßiger Zustand

$$\psi(x,t\!=\!0)~=~\psi(-x,t\!=\!0)$$

ist daher nur eine Linearkombination aus geraden Energieeigenzuständen

$$\psi(x,t\!=\!0)~=~\sum_i c_i e_i(x).$$

Die Wellenfunktion

$$\psi(x,t)~=~\sum_i c_i e_i(x) \exp\left[-\frac{\mathrm{i}t E_i}{\hbar}\right]~=~\psi(-x,t)$$

bleibt auch zu einem zukünftigen Zeitpunkt eine gerade Funktion$t$, und kann daher nicht ungerade werden.