Eindeutige Parität der Lösungen einer Schrödinger-Gleichung mit geradem Potential?

Gute Frage! Zunächst müssen Sie wissen, dass sich Parität auf das Verhalten eines physikalischen Systems oder einer der mathematischen Funktionen, die ein solches System beschreiben, unter Reflexion bezieht. Es gibt zwei "Arten" der Parität:

• Wenn$f(x) = f(-x)$, wir sagen die Funktion$f$hat gerade Parität
• Wenn$f(x) = -f(-x)$, wir sagen die Funktion$f$hat eine ungerade Parität

Natürlich trifft für die meisten Funktionen keine dieser Bedingungen zu, und in diesem Fall würden wir die Funktion sagen$f$hat unbestimmte Parität.

Schauen Sie sich nun die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in 1D an:

und achte darauf, was passiert, wenn du nachdenkst$x\to -x$:

Wenn Sie ein symmetrisches (gerades) Potenzial haben,$V(x) = V(-x)$, das ist genau das Gleiche wie die ursprüngliche Gleichung, außer dass wir transformiert haben$\psi(x) \to \psi(-x)$. Da die beiden Funktionen$\psi(x)$und$\psi(-x)$dieselbe Gleichung erfüllen, sollten Sie dieselben Lösungen für sie erhalten, mit Ausnahme einer multiplikativen Gesamtkonstante; mit anderen Worten,

Normalisierung$\psi$benötigt das$|a| = 1$, was zwei Möglichkeiten lässt:$a = +1$(gerade Parität) und$a = -1$(ungerade Parität).

Was dies physikalisch bedeutet, sagt es Ihnen, dass Sie immer dann, wenn Sie ein symmetrisches Potenzial haben, in der Lage sein sollten, eine Basis von Eigenzuständen zu finden, die eine eindeutige gerade oder ungerade Parität haben (obwohl ich das hier nicht bewiesen habe *, nur den Anschein erweckte angemessen). In der Praxis erhalten Sie lineare Kombinationen von Eigenzuständen mit unterschiedlichen Paritäten, sodass der tatsächliche Zustand möglicherweise nicht symmetrisch (oder antisymmetrisch) um den Ursprung herum ist, aber es sagt Ihnen zumindest, dass Sie bei symmetrischem Potenzial eine symmetrische ( oder antisymmetrischer) Zustand. Das ist sonst nicht gewährleistet. Sie müssten sich jedoch wahrscheinlich von jemand anderem Informationen darüber holen, wofür genau Zustände mit bestimmter Parität verwendet werden, da dies außerhalb meines Fachgebiets liegt (es sei denn, Sie interessieren sich für die Parität von Elementarteilchen, was eher seltsam ist).

*Es gibt einen Paritätsoperator$P$die die Ausrichtung des Raums umkehrt:$Pf(x) = f(-x)$. Funktionen bestimmter Parität sind Eigenfunktionen dieses Operators. Ich glaube, Sie können die Existenz einer Eigenbasis mit bestimmter Parität demonstrieren, indem Sie dies zeigen$[H,P] = 0$.

Entschuldigung, ich fand die Antwort von David Z etwas verwirrt, nur als ich den entscheidenden Punkt besprach.

Da die beiden Funktionen ψ(x) und ψ(−x) dieselbe Gleichung erfüllen, sollten Sie für sie dieselben Lösungen erhalten, mit Ausnahme einer multiplikativen Gesamtkonstante; mit anderen Worten,

ψ(x)=aψ(−x)

Das Normalisieren von ψ erfordert, dass |a|=1, was zwei Möglichkeiten lässt: a=+1 (gerade > Parität) und a=−1 (ungerade Parität).

Der erste Teil „Da die beiden Funktionen ... multiplikative Konstante“ ist im Allgemeinen falsch ohne eine wichtige weitere Forderung, die hier nicht gewährleistet ist. Es gilt tatsächlich unter der Hypothese, dass der Eigenraum des Hamilton-Operators mit Eigenwert ist$E$wir betrachten, ist eindimensional . Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht der Fall. Schließlich der restliche Teil der obigen Aussage "Normalisierung ... Parität)." ist sowieso falsch, wie es aussieht: Normalisierung erfordert nur$|a|=1$.

Lassen Sie mich eine alternative Antwort vorschlagen.

Zunächst führt man die Paritätstransformation ein ,$P: {\cal H} \to {\cal H}$, wo${\cal H} = L^2(R)$, wie folgt definiert, ohne auf einen Hamilton-Operator Bezug zu nehmen :

Über$\eta_\psi$ist eine komplexe Zahl mit$|\eta_\psi|=1$. Es ist notwendig , diese Möglichkeit zu verlassen, da, wie in der QM bekannt, Zustände Wellenfunktionen bis auf eine Phase sind, so dass$\phi$und$e^{i\alpha} \phi$sind als Zustände nicht unterscheidbar und physikalisch können wir nur mit Zuständen umgehen. Als Karte$P$(1) bijektiv ist und (2) die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen Zuständen bewahrt , handelt es sich um eine sogenannte Quantensymmetrie . Ein berühmter Satz von Wigner garantiert, dass jede Quantensymmetrie entweder durch einen unitären oder einen antiunitären Operator dargestellt werden kann (abhängig von der Natur der Symmetrie selbst). Im vorliegenden Fall bedeutet dies alles, dass die Karte repariert werden können muss$\psi \mapsto \eta_\psi$damit$P$wird linear (oder anti-linear) und unitär (oder anti-unitary). In der Tat$P$wird einheitlich, wenn$\eta$wird als unabhängige Form angenommen$\psi$. Wir landen also beim unitären Paritätsoperator :

wo$\eta \in C$mit$|\eta|=1$ist eine beliebige feste Zahl. Wir können unsere Auswahl präzisieren$\eta$das verlangen$P$ist auch ein Observable , das heißt$P=P^\dagger$. Es ist sofort zu überprüfen, dass es nur für passiert$\eta = \pm 1$. Es ist eine Frage der Bequemlichkeit, das Schild zu befestigen. Wir gehen fortan davon aus$\eta=1$(Folgendes würde sich bei der anderen Wahl nicht ändern). Wir haben unsere Paritätsbeobachtbare/Symmetrie gegeben durch:

Was ist das Spektrum von$P$? Wie$P$einheitlich ist, die Elemente$\lambda$des Spektrums muss verifizieren$|\lambda|=1$. Wie$P$selbstadjungiert ist, muss das Spektrum in die reelle Linie gehören. Wir schließen daraus, dass das Spektrum von$P$enthält$\{-1,1\}$maximal. Da dies diskrete Punkte sind, müssen sie echte Eigenwerte mit zugehörigen richtigen Eigenvektoren sein (ich meine: Dinge wie Diracs Delta sind ausgeschlossen).

Es ist unmöglich, dass das Spektrum enthält$1$nur oder$-1$nur, sonst hätten wir$P=I$oder$P=-I$bzw. das ist offensichtlich falsch. Das haben wir gefunden$P$hat genau zwei Eigenwerte$-1$und$1$.

An dieser Stelle können wir einen Zustand definieren, dargestellt durch$\psi$, um gerade Parität zu haben, wenn$P\psi = \psi$oder ungerade Parität , wenn$P\psi = -\psi$.

Kommen wir zum Problem mit unserem Hamiltonoperator. Wenn$V(x) = V(-x)$, sieht man bei direkter Betrachtung sofort:

Unter der Annahme, dass das Spektrum von$H$ein reines Punktspektrum ist (andernfalls können wir uns darauf beschränken, den Hilbert-Raum zu behandeln, der dem Punktspektrum von zugeordnet ist$H$abgesehen von dem, was mit dem kontinuierlichen Eins verbunden ist), stellt ein bekannter Satz sicher, dass es eine Hilbert-Basis von Eigenvektoren von gibt$H$und$P$gleichzeitig.

Wenn$\psi_E$ist ein solcher gemeinsamer Eigenvektor (zugehörig zum Eigenwert$E$von$H$), muss es entweder überprüfen$P\psi_E= \psi_E$oder$P\psi_E= -\psi_E$, nämlich:

$\qquad\qquad \qquad \psi_E(-x) = \psi_E(x)$bzw.$\psi_E(-x)= \psi_E(x)$.

Abschließend betone ich, dass es im Allgemeinen falsch ist, dass ein Eigenvektor von$H$hat eine definierte Parität. Wenn der Eigenraum des gegebenen Eigenwerts eine Dimension hat$\geq 2$, ist es einfach, Gegenbeispiele zu konstruieren. Es gilt jedoch zwangsläufig, wenn der betrachtete Eigenraum von$H$Dimension hat$1$.

Ich denke, dies sollte eine alternative Antwort von Grundprinzipien sein.

Angenommen, der Hamiltonoperator ist eindimensional, und$V(x)$ist eine gerade Funktion. Gegeben eine allgemeine Lösung$\psi (x)$, das haben wir auch$\psi (-x)$ist eine Lösung. Wenn der Eigenraum des Hamilton-Operators eindimensional ist, müssen wir haben

Wenn$\psi (x)$und$\psi (-x)$linear unabhängig sind, dann weiß ich nicht, wie ich mit der Situation umgehen soll.

Bitte lassen Sie mich wissen, wenn Sie einen Fehler in meiner Argumentation gefunden haben. Prost.