In Ballentines Buch über Quantenmechanik (im 3. Kapitel) führt er die Symmetrietransformation der Galileischen Gruppe ein, die mit der Schrödinger-Gleichung verbunden ist.
Jetzt hat die galiläische Gruppe als solche 10 Generatoren (3 Rotationen - , 3 Übersetzungen - , 3 Boosts - und Zeitübersetzung - ). Abgesehen davon ist die Schrödinger-Lösung (die Wahrscheinlichkeitsamplitude) bis auf einen Phasenfaktor ( ). Daher schließen wir einen weiteren Generator ein, der durch die Phasenumwandlung induziert wird. Damit ist die allgemeine Unitary-Transformation,
Die Vertauschungsbeziehungen der Gruppe insgesamt können wie folgt angegeben werden:
Nun hat diese Kommutierungsrelation nicht die Struktur der Lie-Algebra. Denn bei der Lie-Algebra sind die Elemente unter Kommutierung abgeschlossen. Dieser hat ein zusätzliches Element, mit dem man sitzt .
Was ist hier eigentlich los? Ist das wirklich eine Lie-Gruppe mit 11 Parametern? Wenn ja, wie überzeugen wir von der Algebra der Generatoren?
Die Multiplikation mit einer Phase der Wellenfunktion pendelt mit der Wirkung der Galileischen Gruppe.
Es ist immer möglich, einen Generator hinzuzufügen, der mit einem Lie-Algebra-Generator kommutiert, um eine größere Lie-Algebra zu bilden. In diesem Fall wird die größere Lie-Algebra als zentrale Erweiterung der ersteren bezeichnet. Der Ursprung des Namens ist, dass der hinzugefügte Generator (oder die Generatoren) mit allen Generatoren der Lie-Algebra kommutieren und somit zum Zentrum der Lie-Algebra gehören.
Zum Beispiel die Heisenberg-Weyl-Algebra:
ist eine zentrale Erweiterung der zweidimensionalen Translationsalgebra :
Wenn das zentrale Element in keinem Kommutator der ursprünglichen Lie-Algebra-Generatoren vorkommt, ist die zentrale Erweiterung trivial (alle s sind Null) und die Algebra ist nur eine direkte Summe der beiden Algebren. Dies ist in dem konkreten Beispiel der in Ballentines Buch beschriebenen Erweiterung der Fall. Dies ist jedoch in der Heisenberg-Weyl-Algebra nicht der Fall, wo der Kommutator von und bildet das zentrale Element. In diesem Fall ist die zentrale Erweiterung nicht trivial.
Dies ist jedoch noch nicht die ganze Geschichte. Ballentine bereitet den Hintergrund für die Beschreibung einer nichttrivialen zentralen Erweiterung der Galileischen Gruppe vor:
Es stellt sich heraus, dass die Galileische Algebra weder in der klassischen noch in der Quantenmechanik ohne eine nichttriviale zentrale Erweiterung schließt. Die Poisson-Klammer in der klassischen Mechanik und der Kommutator in der Quantenmechanik von Boosts und Impulsen ist nicht trivial und hat die Form:
wo: ist die Masse des Teilchens. Beachten Sie, dass der entsprechende Kommutator in der Galileischen Algebra verschwindet. Dieses Ergebnis ist V. Bargmann zu verdanken .
Im klassischen Fall ist es ganz einfach zu sehen. Die Poisson-Klammern der Noether-Ladungen, die aus dem Freiteilchen-Lagrange berechnet wurden, entsprechen den Boosts und den Impulsen, die gerade die obige Beziehung erfüllen, und sie sind nicht Poisson-kommutiert wie in der nicht erweiterten Galileischen Gruppenalgebra.
Lassen Sie mich schließlich anmerken, dass das zentrale Element immer durch eine Einheitsmatrix in einer irreduziblen Darstellung dargestellt wird und eine Darstellung der zentral erweiterten Algebra eine Strahldarstellung der ursprünglichen Algebra genannt wird.
QMechaniker