Welche physikalische Bedeutung hat die Heisenberg-Gruppe?

Vielleicht möchten Sie Folgendes sehen:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf Kapitel 13,

dh die Vorlesung "Quantenmechanik für Mathematiker: Die Heisenberg-Gruppe und die Schrödinger-Darstellung" von Peter Woit, in der ausführlich auf die Bedeutung der Heisenberg-Gruppe eingegangen wird. Aber seine physikalische Bedeutung ist NICHT die einer Gruppe von Symmetrien der physikalischen Situation. Seien Sie also vorsichtig mit engen Analogien zwischen der kanonischen Kommutierungsrelation und dem Endlichen (sagen wir$n$) dimensionale Hiesenberg-Lie-Gruppe$\mathfrak{H}_n\left(\mathbb{R}\right)$. Das Ding auf der rechten Seite der Beziehung$\left[\mathbf{x},\,\mathbf{p}\right] = i \, \hbar \,\mathbf{i}$in der endlichdimensionalen Algebra$\mathfrak{h}_n\left(\mathbb{R}\right)$ist NICHT die Identitätsmatrix - es ist einfach etwas, das mit allem anderen in der Lie-Algebra pendelt. Es war Hermann Weyl, der darauf hinwies, dass sich die kanonische Kommutierungsrelation nicht auf eine endlichdimensionale Lie-Algebra beziehen kann: in solchen Algebren eine Lie-Klammer$\left[\mathbf{x},\,\mathbf{p}\right]$(zwischen quadratischen Matrizen) hat eine Nullspur, die Identitätsmatrix (oder ein skalares Vielfaches, wie auf der rechten Seite des CCR) jedoch nicht. Man muss auf Operatoren auf unendlichdimensionalen Hilbert-Räumen ($e.g.$ $p = i \,\hbar \,d/dx$) um die vollständige Realisierung der kanonischen Vertauschungsbeziehung zu finden.

Eine weitere Möglichkeit zu verstehen, dass sich das Verhalten der endlichdimensionalen Matrix Heisenberg-Lie-Algebra radikal von der CCR unterscheidet, ist die Unschärferelation selbst. Das Produkt der RMS-Unsicherheiten für gleichzeitige Messungen von zwei nicht kommutierenden Observablen$\hat{a}, \hat{b}$einen Quantenzustand gegeben$\psi$wird nach unten durch die positive reelle Zahl begrenzt$\frac{1}{2}\left|\left<\psi|c|\psi\right>\right|$Wo$\left[\hat{a},\hat{b}\right] = i c$(siehe Abschnitt 10.5 der 3. Auflage von Merzbacher "Quantenmechanik"). Wenn$c$eine endliche quadratische Matrix ist und, wie in der Heisenberg-Algebra, keinen vollen Zeilenrang hat, gibt es bestimmte Zustände (die in$c$'s nullspace), wobei das Unsicherheitsprodukt null sein kann. Die endlichdimensionale Matrizenalgebra kann also Heisenbergs physikalisches Postulat nicht modellieren.

Siehe auch den Wikipedia-Artikel zur Heisenberg-Gruppe.