Warum müssen Symmetrietransformationen mit dem Hamiltonoperator pendeln?

Manchmal wird dies ohne große Erklärung behauptet.

Der Zeitentwicklungsoperator ergibt sich durch Potenzieren des Hamiltonoperators:

$$U(t) = \exp(-i t\hat H / \hbar ).$$ Zur Konkretheit, wenn wir an eine Symmetrieoperation denken (wie Sie es genannt haben$U$) Denken wir über Rotationen um die nach$z$-Achse. Eine Drehung um$\theta$Grad wird durch gegeben $$R(\theta) = \exp(-i\theta \hat J_z/\hbar)$$ Wo$\hat J_z$ist der Drehimpulsoperator in der$z$-Richtung.

Wenn unsere Symmetrie mit Zeitübersetzungen pendelt, haben wir

$$[U(t), R(\theta)] = 0 \implies U(t) R(\theta) = R(\theta) U(t).$$

Das bedeutet für alle$|\psi \rangle$,

$$U(t) R(\theta) |\psi \rangle = R(\theta) U(t) |\psi \rangle.$$

Mit anderen Worten, wenn Sie den Zustand umdrehen$\theta$Grad und dann warten$t$Sekunden erhalten Sie den gleichen Zustand, als ob Sie zuerst gewartet hätten$t$Sekunden vor dem Drehen$\theta$Grad.

Die "Kommutativität" dieser Operationen ist oft das, was Physiker meinen, wenn sie sagen, dass sie eine Symmetrie haben.

Durch Differenzieren der Gleichung$[U(t), R(\theta)] = 0$von$t$,$\theta$, oder beides, können wir sehen, dass diese Aussage tatsächlich vier eng verwandten Aussagen entspricht

1. $[e^{-i t \hat H/\hbar}, e^{- i \theta \hat J/\hbar}] = 0$: Einen Zustand zu rotieren und dann zeitlich zu entwickeln, ist dasselbe wie sich zeitlich zu entwickeln und dann zu rotieren. (Wir haben eine Symmetrie.)
2. $[e^{-i t \hat H/\hbar},\hat J] = 0$: Der Drehimpuls eines Zustands ändert sich nach der Zeitentwicklung nicht. (Der Drehimpuls bleibt erhalten.)
3. $[\hat H, e^{- i \theta \hat J/\hbar}] = 0$: Die Energie eines Zustands ändert sich nicht, wenn der Zustand gedreht wird.
4. $[\hat H, \hat J] = 0$: Wenn man den Drehimpuls eines Zustands misst, ändert sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand danach eine bestimmte Energie hat, nicht. Das Gegenteil ist auch wahr. ($\hat H$Und$\hat J$können gleichzeitig diagonalisiert werden.)

Dies erfordert einen einheitlichen Operator$U$sich die Übergangsraten nicht ändern, ist eine leere Aussage, denn das stimmt immer

$$\langle \psi | \chi\rangle = \langle U \psi | U\chi\rangle = \langle\psi | U^\dagger U |\chi\rangle\,.$$ Andererseits ist die Forderung, dass die Erwartungswerte unverändert bleiben, eine zu starke Einschränkung. Nehmen wir zum Beispiel ein rotationsinvariantes System. Wenn Sie sich in Bezug auf eine Achse drehen, ist dies nicht der Fall$\vec{z}$, der Erwartungswert $$\langle \psi | \hat{J}_z | \psi\rangle\,,$$ wird sich verändern. Insbesondere dreht es das Zeichen um, wenn Sie vorbeidrehen$\pi$herum, sagen wir,$\vec{x}$.

Die kurze Antwort auf Ihre Frage lautet: Per Definition . Aber ich werde versuchen, die Motivation zu erklären.

Symmetrien in der Physik sind eng mit Bewegungskonstanten verbunden. Jedes Mal, wenn Sie eine Symmetrie in der klassischen Dynamik haben (Rotation, Translation,$U(1)$, ...) erhält man eine Bewegungskonstante (Drehimpuls, Impuls, Ladung, ...). Wir wollen das gleiche Konzept in die Quantenmechanik importieren. Und es stellt sich heraus, dass die Operatoren beide Rollen gleichzeitig spielen. Sie wirken als Erzeuger einer Symmetrie, wenn man sie auf den Zustand anwendet, und sie wirken als Bewegungskonstanten, wenn man ihren Erwartungswert nimmt.

Sehen wir uns nun an, warum ein Operator mit zeitlich konstantem Erwartungswert mit dem Hamiltonoperator kommutieren muss. Forderung$J$der Generator der Symmetrie und$U(\theta) = \exp(i\theta J)$seinen zugehörigen unitären Operator. Unser Erwartungswert ist

$$E_\psi(t) \equiv \langle \psi | e^{i H t / \hbar}\,J\, e^{-i H t / \hbar}| \psi\rangle\,.$$ Wir verlangen, dass die Ableitung davon Null ist $$-i\hbar\frac{\mathrm{d}E_\psi}{\mathrm{d}t} = \langle \psi | \,[H, J]\,|\psi\rangle = 0\;\;\forall\;\psi \in \mathscr{H}\,(\mbox{Hilbert space})\,.$$ Offensichtlich, wenn Sie nehmen$\psi = \chi + \phi$das kannst du beweisen$\langle\chi|[H,J]|\phi\rangle= 0$also ist der Kommutator als Operator Null. Endlich, wenn$H$pendelt mit$J$, dann pendelt es mit jeder Potenzreihe ein$J^n$und somit$U(\theta)$sowie.

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Wie in den Kommentaren ausgeführt, gilt dies für kontinuierliche Symmetrien, bei denen Sie die Korrespondenzsymmetrie haben$\leftrightarrow$Bewegungskonstante. Aber diskrete Symmetrien müssen per Definition auch mit dem Hamilton-Operator pendeln.

Es gibt natürlich auch andere Möglichkeiten, es zu motivieren, und sie hängen davon ab, welche Definition Sie wählen möchten:

1. Symmetrien sind jene Transformationen, die die Energie eines Zustands nicht verändern.

2. Symmetrien sind jene Transformationen, die die Bewegungsgleichungen invariant halten.

Wenn Sie Definition 1 mögen, ist es einfach.

$$H U|\psi_n\rangle = E_n U |\psi_n\rangle\;\Longleftrightarrow \; [H,U] = 0\,.$$ Wenn Sie Definition 2 mögen, nehmen Sie die kanonische Variable$q_i$. Im Heisenberg-Bild $$q_i(t) = e^{i H t/\hbar} q_i e^{-i H t/\hbar}\,,\qquad q_i \to q_i' = U^\dagger q_i U\,.$$ $U$ist eine Symmetrie, wenn$q_i'(t) = (q_i(t))'$. Dieser Standpunkt wurde in der Antwort von @ user1379857 angesprochen.

Wenn ein Operator nicht mit einem Hamilton-Operator pendelt, dann sind die Eigenzustände dieses Operators nicht auch Eigenzustände des Hamilton-Operators. In diesem Fall sagen wir, dass die durch den Operator definierte Transformation keine Symmetrie des Systems ist.

Hier ein Beispiel aus der klassischen Physik. Das Gesetz, dass Größe und Richtung des Drehimpulses eines Vektors konstant sind, ist eine Folge des Satzes von Noether , wo die interessierende Transformation Änderungen der Orientierung im Raum sind. Der Drehimpuls bleibt erhalten, da der Raum keine Vorzugsrichtung hat. Aber hier auf der Erdoberfläche hat der Weltraum eine bevorzugte Richtung: Er ist "unten". Wenn Sie also ein isoliertes Objekt haben, das sich auf der Erdoberfläche dreht, ist sein Drehimpuls im Allgemeinen keine Konstante. Stattdessen präzediert die Orientierung des rotierenden Objekts.

Wenn Sie einen Operator haben, der nicht mit dem Hamilton-Operator pendelt, würden Sie sagen, dass die durch diesen Operator verkörperte Transformation keine Symmetrie Ihres Systems ist.