Wenn ich das richtig verstehe, wird in vielen Kontexten der Physik (Quantenmechanik?) Ein physikalisches System durch Angabe seines Hamilton-Operators spezifiziert. Ich höre auch, dass Symmetrien ziemlich wesentlich sind.
Was die natürlichsten Symmetrien betrifft, so scheint es ziemlich einfach, sie zu erkennen. Sie sollten anscheinend lineare Selbstabbildungen des zugrunde liegenden Hilbert-Raums sein, was natürlich genug erscheint, und sie sollten sicherlich mit dem Hamilton-Operator pendeln (wenn Sie das System durch Symmetrie transformieren und dann den Hamilton-Operator verwenden, um herauszufinden, wie es sich entwickelt, sollte das Ergebnis dasselbe sein, als wenn Sie zuerst die Zeitentwicklung betrachten und dann Symmetrie anwenden).
Für eine Weile dachte ich, dass dies genau das ist, was eine Symmetrie tun sollte, aber dann wurde mir klar, dass jede Karte, die die Eigenräume der Hamilton-Invariante beibehält, ausreichen würde, und ich vermute, dass dies nicht ganz richtig ist. Außerdem scheint es noch einige andere Operatoren zu geben, die oft bei der Definition des Hamilton-Operators verwendet werden - ich bin mir nicht sicher, ob eine Symmetrie auch mit diesen pendeln soll ...
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, was Symmetrien eines physikalischen Systems (aus Sicht des Hamiltonoperators) eigentlich sind und warum sie so und nicht anders definiert sind. Eine Erklärung in Laien- / Mathematikersprache wäre noch mehr erwünscht.
Disclaimer: Ich bin Mathematiker, kein Physiker.
Es gibt ein grundlegendes Ergebnis namens Wigners Theorem über Symmetrien in der Quantenmechanik, das meines Erachtens viel Licht auf dieses Thema werfen wird. Der Satz charakterisiert Symmetrien in der Quantenmechanik, da sie allgemein als Abbildungen im Hilbert-Raum definiert sind, die Übergangswahrscheinlichkeiten bewahren. Soweit mir bekannt ist, gibt es keine andere allgemeine Einschränkung für Symmetrien in der Quantenmechanik. Es gibt eine schöne (nicht ganz strenge) Diskussion dieses Theorems in Weinbergs QFT, Band 1, Anhang A.
Andererseits gibt es einen verwandten Begriff, den der Erhaltungsgrößen. Im Zusammenhang mit der Quantenmechanik werden beobachtbare Größen (selbstadjungierte Operatoren), die mit dem Hamilton-Operator pendeln, aufgrund der Heisenbergschen Gleichung für die Zeitentwicklung erhalten bleiben.
Es gibt zwei große Gebiete der Physik: Allgemeine Relativitätstheorie und Quantenfeldtheorie.
Symmetrien der Allgemeinen Relativitätstheorie:
Lorentz-Invariante: Ergibt sich aus Lichtgeschwindigkeit, die unabhängig vom Bezugsrahmen konstant ist. Michelson-Morley-Experiment
Eichinvariante:
Quantenfeldsymmetrien (Standardmodell, es gibt andere Modelle mit anderen Symmetrien, aber Standard ist überall dort akzeptiert):
Lorentz-Invariante: Gleicher Grund.
entsteht durch elektromagnetische Wechselwirkung.
ergibt sich aus experimentellen schwachen Wechselwirkungssymmetrien.
ergibt sich aus experimentellen starken Wechselwirkungssymmetrien.
Alexander Nelson