Translationsinvarianter Hamiltonoperator und Eigenschaft der Energieeigenzustände

Nein , eine solche Anforderung besteht nicht. Es ist ziemlich einfach, Gegenbeispiele zu finden, bei denen Sie übersetzungsinvariante Hamiltonianer haben, die lokalisierte Energieeigenzustände ohne eine solche Übersetzungsinvarianz haben. Insbesondere Ihre Aussage,

Translationsinvarianz führt zu einem räumlich delokalisierten Energieeigenzustand,

ist im Allgemeinen falsch, vorausgesetzt, das vernünftige Verständnis des Obigen in die genauere Aussage

Wenn$H$ist translationsinvariant und$|\psi\rangle$ist eine Eigenfunktion von$H$, Dann$|\psi\rangle$muss auch übersetzungsinvariant sein

was nicht hält.

Um ein einfaches Gegenbeispiel zur obigen Aussage zu machen, betrachten Sie den Hamiltonian für ein freies Teilchen in zwei Dimensionen,$H=\frac12(p_x^2+p_y^2)$, die offensichtlich Translationsinvarianz und translationsinvariante Eigenfunktionen der Form hat

$$\langle x,y|p_x,p_z\rangle = \frac{1}{2\pi} e^{i(xp_x+yp_y)}.$$ Es ist jedoch nicht erforderlich, dass die Eigenfunktionen so sind, und tatsächlich können Sie rotationsinvariante Wellenfunktionen bilden, die eine klare Lokalisierung am Ursprung haben, indem Sie phasengesteuerte Überlagerungen von ebenen Wellen in der Form nehmen $$|p,l\rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{il\theta}|p\cos(\theta),p\sin(\theta)\rangle \mathrm d\theta.$$ Diese sind in Polarkoordinaten etwas einfacher zu verstehen, wo Sie haben $$\begin{align} \langle r,\theta|p,l\rangle & = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \langle r,\theta|p\cos(\theta'),p\sin(\theta')\rangle e^{il\theta'}\mathrm d\theta' \\ & = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_0^{2\pi} e^{ipr(\cos(\theta)\cos(\theta')+\sin(\theta)\sin(\theta'))} e^{il\theta'}\mathrm d\theta' \\ & = \frac{1}{(2\pi)^2} e^{il\theta}\int_0^{2\pi} e^{ipr\cos(\theta'-\theta)} e^{il(\theta'-\theta)}\mathrm d(\theta'-\theta') \\ & = \frac{i^{l}}{2\pi} e^{il\theta} J_{l}(pr) , \end{align}$$ die offensichtlich die trennbaren zylindrischen harmonischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung in zwei Dimensionen sind. Dies bedeutet, dass sie legitime Eigenfunktionen von sind $H$, aber sie haben absolut nichts mit Translationssymmetrie zu tun. Stattdessen sind sie Eigenfunktionen der Rotationssymmetrie von $H$- und tatsächlich sind die ebenen Wellenzustände, mit denen Sie begonnen haben, hervorragende Beispiele dafür, wie ein rotationsinvarianter Hamiltonian Eigenfunktionen haben kann, die diese Symmetrie nicht respektieren.

---

Das heißt, wenn Sie wirklich nach einem Analogon des von Ihnen angegebenen ursprünglichen Ergebnisses suchen,

Wenn der Hamilton-Operator paritätsinvariant ist, sind nicht entartete Energieeigenzustände entweder gerade oder ungerade

dann ja, es ist möglich - aber es ist absolut entscheidend, nicht entartete Eigenwerte zu haben. (Dies gilt natürlich auch im Paritätsfall, und wenn Sie gerade und ungerade Eigenzustände mit demselben Eigenwert haben, ist es trivial, Eigenzustände mit gemischter Parität zu konstruieren, die keine bestimmte Symmetrie haben.)

Wenn Sie es schaffen, einen translationsinvarianten Hamiltonian zu finden$H$so dass$[H,T_a]=0$und ein Eigenwert$p$ist nicht entartet (wie zB$p=0$für ein freies Teilchen als den einzigen physikalisch relevanten Fall), dann ja, den Eigenzustand$|\psi_p\rangle$muss translationsinvariant sein, da$T_a|\psi_p\rangle$muss ein Eigenzustand desselben Eigenwerts sein, und aufgrund der Nichtentartung muss er proportional zu sein$|\psi_p\rangle$, dh$T_a|\psi_p\rangle = e^{i f(a)}|\psi_p\rangle$, So$|\psi_p\rangle$ist translationsinvariant.

Es ist jedoch höchst unwahrscheinlich, dass Sie nichttriviale , physikalisch sinnvolle Hamiltonianer finden, die translationsinvariant, aber nicht paritätsinvariant sind, sodass Sie in allen Eigenwerten ungleich Null immer mindestens eine zweifache Energieentartung haben, was das obige Argument weitgehend nutzlos macht .

Es scheint mir, dass Sie an folgendem Theorem interessiert wären:

Wenn zwei Operatoren$A$Und$B$pendeln, können wir eine gemeinsame Eigenbasis von Vektoren finden$|a, b\rangle$so dass$A |a,b \rangle = \lambda_a\, |a,b\rangle$Und$B |a,b \rangle = \mu_b\, |a,b\rangle$.

Wenden wir dies auf die Systeme an, von denen Sie sprechen:

• Wenn der Hamilton paritätsinvariant ist, bedeutet das$[H,P] = 0$. Dann können wir nach obigem Satz die Eigenbasis von wählen$H$so dass jeder Eigenvektor$|n\rangle$hat definitive Parität,$P|n\rangle = \pm |n\rangle$. Daraus schließen wir

  $$\psi_n(x) = \langle x | n \rangle = \pm \langle x | P | n \rangle = \pm \langle -x | n \rangle = \pm \psi_n(-x) \;.$$

• Lassen$T_x$sei eine Übersetzung von$x$. Wenn der Hamilton translationsinvariant ist (kontinuierliche Symmetrie), dann$[H, T_x] = 0$für alle$x$. Erinnern

  $$T_x = \exp\left( -\frac {\mathrm i} \hbar x\, p \right)$$ (Wo$p$ist der Impulsoperator). Wenn$H$Und$T_x$pendeln für alle$x$, das muss das bedeuten$[H,p] = 0$. Durch den obigen Satz können wir eine Basis von Eigenvektoren finden$|n\rangle$des Hamiltonoperators, die auch Eigenvektoren von sind$p$so dass $$\psi_n(x) \sim \mathrm e^{\frac{\mathrm i}\hbar k_n x}$$ für einige$k_n$.

• Wenn nur$[H, T_x] = 0$für diskret$x = na$. Durch erneute Anwendung des Satzes erhalten wir, dass wir eine Basis wo wählen können

  $$\psi_n(x + a) = C \psi_n(x) \;,$$ Wo$C$ist eine Konstante mit$|C| = 1$. Schreiben$C = \mathrm e^{2\pi\mathrm i\, \theta}$, definieren$k = \frac{2\pi\theta}a$Und $$u_n(x) = \mathrm e^{-\mathrm i kx} \psi_n(x) \;.$$ Das sieht man sofort$u_n(x+a) = u_n(x)$, und jetzt verstehen wir, wie der Satz von Bloch aus dem oben zitierten allgemeinen Satz folgt.
  (Das besagt der Satz von Bloch$\psi_n(x) = \mathrm e^{\mathrm i kx} u_n(x)$mit periodisch$u_n$.)

Wichtig: "Wir können eine Eigenbasis finden, so dass ..." bedeutet nicht im Allgemeinen, dass alle Basen von dieser Form sind. Wenn das Spektrum von$H$entartet ist, werden wir im Allgemeinen Basisvektoren von aufschreiben können$H$die die Symmetrie des anderen Operators nicht respektieren, sei es$P$oder$T_x$. Siehe die Antwort von Emilio Pisanty.

Der Einfachheit halber arbeite ich in einer räumlichen Dimension. Wenn der Hamiltonoperator translationsinvariant ist, dh wenn

$$\left[H,U\right]=0$$

für den unitären Übersetzungsoperator

$$U = e^{-ip},$$

dann können wir simultane Eigenzustände finden$\left|\varepsilon,\theta\right>$sowohl des Hamilton-Operators als auch des Übersetzungsoperators, wo$H\left|\varepsilon,\theta\right>=\varepsilon\left|\varepsilon,\theta\right>$Und$U\left|\varepsilon,\theta\right>=e^{i\theta}\left|\varepsilon,\theta\right>.$Betrachten Sie die räumliche Wellenfunktion

$$\psi(x)= \left<x\right|\left.\!\varepsilon,\theta\right>.$$ Wir sehen das $$\begin{align} \psi(x+a) &= \left<x+a\right|\left.\!\varepsilon,\theta\right>\\ &=\left<x\right|U^{-a}\left|\varepsilon,\theta\right>\\ &= e^{-ia\theta}\psi(x) \end{align}$$ für alle echt $a$. Es folgt dem $$|\psi(x)|^2 = |\psi(x')|^2$$ für alle $x$, $x'$, also ist die durch eine solche Wellenfunktion beschriebene Wahrscheinlichkeitsdichte räumlich konstant. Jede Nicht-Null-Funktion, die diese Bedingung erfüllt, hat keine $L^2$Norm.

Für diskrete translationsinvariante Systeme gilt der Satz von Bloch .

Für kontinuierliche Translationsinvarianz des Hamiltonoperators ist der Hamiltonoperator eine Konstante ($\forall a:H(r) = H(r+a) \rightarrow H(r)=H=const.$). Daher sind ebene Wellen eine Menge von Eigenzuständen (was tatsächlich auch mit der Kontinuumsgrenze des Satzes von Bloch übereinstimmt).