Haftungsausschluss. Ich bin ein Doktorand in reiner Mathematik, daher sind meine Kenntnisse in Physik, die weiter fortgeschritten sind als die Grundlagen der Physik im 1./2. Jahr, sehr begrenzt. Ich begrüße Korrekturen zu etwaigen Missverständnissen in meiner Frage.
Hintergrund. Aus Lektüre, die ich online gemacht habe (hauptsächlich auf Wikipedia und Online-Vorlesungsmitschriften), verstehe ich, dass gemäß der Theorie der Quantenmechanik die möglichen Energieniveaus eines Quantensystems manchmal unter Verwendung der Eigenwerte eines hermiteschen Operators beschrieben werden wird der Hamilton-Operator auf einem (möglicherweise unendlich dimensionalen) Hilbert-Raum genannt, der (der Einfachheit halber) manchmal unter Verwendung eines großen angenähert wird Hermitische Matrix (also mit ).
Außerdem verstehe ich, dass man für viele sehr komplizierte und schnell schwankende Systeme (wie schwere Atomkerne) oft hauptsächlich an einem generischen oder typischen hermiteschen Operator interessiert ist, der durch Definition unserer Näherung modelliert werden kann als zufällige hermitesche Matrix.
Nach dem, was ich bisher geschrieben habe, verstehe ich zumindest teilweise das Interesse, das Spektrum großer hermitescher Matrizen für Anwendungen in der Physik zu studieren.
Wenn jedoch Anwendungen in der Physik in der Zufallsmatrixtheorie erwähnt werden, wird normalerweise viel Wert auf die invarianten Zufallsmatrix-Ensembles gelegt, bei denen es sich um Ensembles von Zufallsmatrizen handelt deren Verteilungen unter Konjugation durch Matrizen aus einer der klassischen Matrix-Lie-Gruppen invariant sind. Zum Beispiel die Zufallsmatrix heißt zu einer einheitlichen Gesamtheit gehören, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von gleich der Wahrscheinlichkeitsverteilung von ist für jede unitäre Matrix . Das führt mich zu folgender Frage:
Frage. Gibt es einen physikalischen Grund, warum sich Physiker besonders für die invarianten Ensembles interessieren? Bei meiner Recherche bin ich auf den folgenden Absatz in einem Artikel gestoßen, der sich dieser Frage zu widmen scheint
Physikalisch beschreibt ein invariantes Zufallsmatrix-Ensemble erweiterte (aber phasenrandomisierte) Zustände, bei denen die Lokalisierungseffekte vernachlässigbar sind. Im Gegensatz dazu berücksichtigt jedes nicht-invariante Ensemble eine Art Struktur von Eigenfunktionen (z. B. Lokalisierung) in einer bestimmten Basis, die in einer anderen rotierten Basis möglicherweise nicht der Fall ist (denken Sie an die erweiterten Zustände im Modell mit fester Bindung). die linearen Kombinationen von Zuständen, die an einem bestimmten Ort lokalisiert sind).
aber angesichts meiner mangelnden Kenntnis des Physikjargons verstehe ich nicht ganz, was mit "Lokalisierungseffekte sind vernachlässigbar" gemeint ist.
Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist, aber ich denke, dass die physikalische Motivation für die Zufallsmatrix-Ensembles mit der Symmetrie zusammenhängt. In der Physik haben Sie zum Beispiel oft Rotationssymmetrie, sodass Ihre potenzielle Energie oder Aktion oder etwas invariant ist, wenn Ihr Positionsvektor eine Drehung erfährt: . Diese Anforderung, dass keine Richtung speziell ist, bedeutet, dass Ihre Größe nur von der Größe der Position (oder Geschwindigkeit oder was auch immer) abhängen sollte.
Auf die gleiche Weise sollte Ihre Quantentheorie, wenn sie zufällig ist, keinen Zustand privilegieren . Über jedem anderen Staat. Daher sollte Ihr Matrizenensemble unter einheitlichen Transformationen invariant sein (das Äquivalent von Rotationen in dem Sinne, dass sich die Größe nicht ändert). . Wenn wir uns jedoch vorstellen, dass diese einheitliche Transformation eher auf den Hamilton-Operator als auf den Zustand einwirkt, dann sollte unser Ensemble zufriedenstellend sein
Sie fragen sich vielleicht, warum wir uns auf unitäre Transformationen beschränken sollten. Im klassischen Bild halten wir uns an Rotationen, weil es oft nicht auf die Richtung, sondern auf die Größe ankommt (z. B. für die kinetische Energie als Funktion der Geschwindigkeit). Ich denke jedoch, dass wir hier nur bei einheitlichen Transformationen bleiben, weil Quantenzustände normalisiert sind, sodass es normalerweise keinen Sinn macht, über die Änderung ihrer Größe zu sprechen.
Hier ist ein Beispiel für die Verwendung der Zufallsmatrixtheorie in der Physik, genauer gesagt in Inflationsmodellen, bei denen viele Felder zur Inflation beitragen ( Referenz ).
In diesem Zusammenhang wird die Random-Matrix-Theorie verwendet, um ein hohes Maß an Allgemeingültigkeit aufrechtzuerhalten: Fehlen (einer Möglichkeit,) vollständige Informationen über das Inflationspotenzial zu erhalten , möchte man herausfinden, was passiert, wenn man versucht, nur einige Eigenschaften des Potentials anzunehmen, dem jedes Feld ausgesetzt ist. Es kann dann aufschlussreich sein, sich zu fragen, was die generischen Eigenschaften von Potentialen sind, die diesen Bedingungen gehorchen.
Wie sich herausstellt, beschränken die Grundannahmen, die in jeder realistischen Theorie vernünftig erscheinen (dies ist natürlich Gegenstand oder Diskussion), die Hesse-Matrix, die mit dem Potenzial der Felder verbunden ist, auf ein bekanntes Ensemble von Zufallsmatrizen, die Gaußsche Orthogonale Ensemble. Man kann dann die Zufallsmatrixtheorie verwenden, um die generischen Merkmale dieser Potenziale zu untersuchen und herauszufinden, wie viel genau wir über eine breite Klasse möglicher Inflationspotenziale sagen können.
Die Zufallsmatrixtheorie war früher sehr beliebt für die Untersuchung des Quantentransports, siehe zum Beispiel diese Übersicht von Beenakker , insbesondere im Zusammenhang mit Lokalisierungsphänomenen (starke Lokalisierung, schwache Lokalisierung usw.).
Eine Zufallsstreuungsmatrix muss (in einer großen Anzahl von Szenarien) einer Reihe von physikalischen Einschränkungen gehorchen. Prinzipien davon sind Energieerhaltung, Reziprozität und Zeitumkehrsymmetrie. In einem Quantenkontext haben Sie auch Wahrscheinlichkeitserhaltung (dh Normalisierung der Wellenfunktion). Diese erlegen der Streumatrix einige notwendige Symmetrien auf (siehe z . B. doi.org/10.1103/PhysRevResearch.3.013129 ) .
Ich bin nicht wirklich ein Physiker oder beherrsche Mathematik, aber ich glaube, ich verstehe, warum Sie die Frage stellen. Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber es scheint, als wollten Sie darauf hinweisen, dass es außerhalb von mathematischer Theorie, kontrollierter Laborumgebung, Simulationen ... nicht sinnvoll erscheint, mit invarianten Zufallsmatrizen zu arbeiten. (Die Dinge neigen dazu, in der Natur unterschiedlich zu sein, und es gibt Tonnen oder externe Faktoren).
Meine Antwort ist diese, weil mir nichts anderes einfällt: Quantenlogikgatter.
Wenn wir beim Rechnen mehrere Versionen einer randomisierten Umgebung generieren, um daraus Daten zu sammeln, können wir einige Werte auswählen, die zwischen den Umgebungen konstant bleiben. Ich kenne nicht die gesamte Terminologie, mit der Sie herumwerfen, aber dies scheint ein Beispiel dafür zu sein. Zufällig generierte Werte werden häufig für Quantencomputer verwendet. Natürlich kann ich hier auch komplett daneben liegen!
Eine zusätzliche Anwendung der Zufallsmatrixtheorie tritt in der Quantengravitation auf. Die Zufallsmatrixtheorie kann verwendet werden, um die Übergangsamplitude zwischen zwei Zuständen zu analysieren und auch ein entsprechendes Phasendiagramm zu finden. Hier Zwei-Matrix-Modell mit ABAB-Wechselwirkung oder hier
Das Phasendiagramm des ABAB-Modells finden Sie eine Verbindung zu dynamischen Triangulationen, die auf dem Regge-Kalkül basieren. Es hat eine Erweiterung zu höheren Dimensionen Farbige Tensormodelle , die in der 4-D-Quantengravitation verwendet werden können, daher sehr relevant!
Ich denke, es lohnt sich, über das Konzept der „Einheitlichkeit“ nachzudenken. Was macht das einheitliche Maß auf einer endlichen Menge so besonders? Sie ist die einzige (Wahrscheinlichkeits-)Symmetrie, die unter jeder Symmetrie des Raumes, also unter jeder Bijektion der endlichen Menge, invariant ist.
Nun scheint es natürlich zu denken, dass die gute Gruppe von Symmetrien eines Hilbert-Raums die Gruppe von Unitären ist. Unter der Annahme, dass es sich lohnt, zufällige Matrizen zu betrachten, und unter der Annahme, dass es sich lohnt, Wahrscheinlichkeitsmaße zu berücksichtigen, die so „einheitlich“ wie möglich sind, ist es natürlich, invariante einheitliche Gesamtheiten zu betrachten.
QMechaniker
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