Anomalie in der Quantenmechanik in der Pfadintegralformulierung

Wenn$A$eine klassische Symmetrie ist, ist es möglich, dass nach der Quantisierung$A$ist keine Symmetrie mehr. Eine der Möglichkeiten, dies in der Operatorformulierung der Quantenmechanik zu sehen, ist die folgende.

Lassen$H$Und$A$ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum sein$\mathcal{H}$. Wir erwägen$H$als Quantenhamiltonsch und$A$als Symmetrie:$A$Und$H$pendeln, was bedeutet, dass Operator-bewertete Spektralmaße pendeln.

Wenn$\psi \in \mathcal{H}$ist dann ein Zustand

$$\frac{d}{dt} \langle A(t)\rangle= \frac{d}{dt}\langle \psi(t), A\psi(t)\rangle =\langle -i H \psi(t), A\psi(t)\rangle+ \langle\psi(t), A (-iH)\psi(t)\rangle\\ =i(\langle H \psi(t), A\psi(t)\rangle - \langle\psi(t), A H\psi(t)\rangle). \quad (\ast)$$ Quanten-Hamiltonoperator $H$ist dicht auf definiert $\mathcal{H}$mit Domäne $D(H)$und wenn $A$nicht konserviert $D(H)$der erste Begriff $\langle H \psi(t), A\psi(t)\rangle$ist ungleich zu $\langle\psi(t), HA\psi(t)\rangle$Und $\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle \neq 0$. Mit anderen Worten, selbst wenn $H=H^{\dagger}$An $D(H)$es muss nicht unbedingt so sein $A(\mathcal{H})=\text{range}(A)$.

Meine Frage ist, wie man Formel herleitet$\ast$Verwenden Sie die Pfadintegralformulierung? Irgendwie ist die Tatsache, dass das Feynman-Maß unter Symmetrie nicht invariant ist$A$muss bei einer solchen Berechnung eine Rolle spielen, aber ich sehe nicht, wie ich das machen soll. Wenn ich damit anfange

$$\int \mathcal Dp(s) \mathcal Dq(s) A(p(t),q(t))e^{iS(p(s),q(s))},$$ mit einigen Randbedingungen bei $s=0$Und $s=T$Und $0<t<T$, Ableitung nehmen $\frac{d}{dt}$Ich sehe nicht, wie ich etwas Gleichwertiges bekommen kann $H-H^{\dagger}$An $A(\mathcal H)$.