Eine Frage zur Existenz von Dirac-Punkten in Graphen?

Wie wir wissen, gibt es in Graphen zwei unterschiedliche Dirac-Punkte für die freien Elektronen . Das bedeutet, dass das Energiespektrum der 2 × 2 Hermitesche Matrix H ( k X , k j ) hat zwei degenerierte Punkte K Und K ' im B.Z.

Nach dem Satz von Neumann-Wigner (No-Crossing-Theorem): Um zwei Eigenwerte einer Hermiteschen Matrix (abhängig von einigen unabhängigen reellen Parametern) zu kreuzen, müssen wir im Allgemeinen mindestens 3 Parameter ändern. Aber im 2D-Graphen-Fall die Variation von nur 2 Parametern k X , k j kann dazu führen, dass sich die Energieniveaus kreuzen.

Daher möchte ich wissen, ob es physikalische oder mathematische Gründe für die Existenz von Dirac-Punkten in Graphen gibt.

Antworten (3)

Ihre Verwendung der No-Crossing-Idee ist richtig - wir erwarten nicht, dass zweidimensionale Bahnübergänge erscheinen, es sei denn, sie sind durch Symmetrie geschützt. Die Symmetrien sind in diesem Fall die Symmetrien des Wabengitters und der Zeitumkehr. Der Schutz von Bahnübergängen durch Symmetrie ist in Festkörpern allgegenwärtig.

Ich sollte hinzufügen, dass die Existenz dieser Dirac-Punkte tatsächlich etwas robuster ist, als es durch einfache Symmetrie-Argumente impliziert würde. Die Bandstruktur wird immer noch Dirac-Kegel haben, wenn man irgendeine Störung anwendet, die Parität und Zeitumkehr nicht verletzt und nicht extrem stark ist[1]. Dies liegt an dem Zusammenspiel der Krümmung der Beere und dem Dirac-Punkt, für den ich eine Referenz finden könnte, wenn Sie möchten.

[1] Extrem stark bedeutet, dass, wenn ich mir vorstellen würde, die Stärke dieser Störung von null aus zu erhöhen, dies die Dirac-Kegel aus dem Raum ziehen würde K , K ' Punkte ineinander. Dies würde eine Energiestörung um die Bandbreite herum bedeuten, die mehrere Elektronenvolt beträgt.

Danke für deine geniale Antwort. Können Sie mir relevante Referenzen zeigen?

Wikipedia sagt:

Die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix in Abhängigkeit von N kontinuierliche reelle Parameter können sich nur bei einer Mannigfaltigkeit von kreuzen N − 2 Maße.

Da hat der Hamiltonian N = 2 Parameter ( k X , k j ), hat die Kreuzungsmannigfaltigkeit eine Dimension N − 2 = 0 , das ist ein Punkt. Es ist also prinzipiell erlaubt, dass Graphen entartete Zustände hat (es gibt auch viele andere entartete Zustände, wenn man sich die gesamte Bandstruktur ansieht). Dies ist definitiv nur eine notwendige, keine hinreichende Bedingung (z. B. könnte man zweischichtiges Graphen betrachten, das diese Entartung nicht aufweist).

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ja, das Kriterium, das Sie präsentieren, gibt nur eine Möglichkeit der Entartung. Aber was mich hier am meisten interessiert, ist der zugrunde liegende Mechanismus, der eine Entartung in 2D-Graphen verursacht.
Und das von Neumann-Wigner-Theorem sagt auch Folgendes: Für den Fall der reellen symmetrischen Matrix reduziert sich die minimale Anzahl der reellen Parameter, die wir einstellen müssen, um einen Bahnübergang zu machen, auf 2. Ich möchte also wissen, ob der 2D-Graphen-Fall etwas zu tun hat mit dem Fall der reellen symmetrischen Matrix im Satz von Neumann-Wigner ?
1) Ich würde Symmetrie sagen - mir ist nie eine bessere Erklärung eingefallen. 2) Nein, weil die Matrix nicht real ist. Die Matrix, die Sie lösen müssen, um die Bandstruktur zu erhalten, ist komplex und hermitesch.
Vielleicht, aber können Sie spezifizieren, welche Arten von Symmetrien Entartung möglich machen?
Wie wäre es mit dieser Erklärung: Wie wir wissen, gibt es höchstens N 2 unabhängige reelle Parameter für a N × N Hermitische Matrix , und wenn wir den Satz von Neumann-Wigner verwenden wollen, die N × N Hermitische Matrix, mit der wir uns befassen, sollte haben N 2 unabhängige reelle Parameter, dann funktioniert das Theorem.
Betrachten Sie nun den Graphen-Fall: Die relevante 2 × 2 Hermitesche Matrix ist H k = ( ε A γ ( k X , k j ) γ ( k X , k j ) ∗ ε B ) , Wo ε A Und ε B sind Onsite-Energien für Subnetz A Und B bzw. wenn also die 4 = 2 2 echte Parameter ε A , ε B , k X Und k j voneinander unabhängig sind, gilt der Satz . Aber Inversionssymmetrie zwischen A Und B Untergitter (oder 2-fache Rotationssymmetrie) erzwingen würden ε A = ε B ,
dann bleibt nur noch 3 < 4 unabhängige Parameter ( ε A , k X Und k j ), also funktioniert der Satz hier nicht. Zusammenfassend widerspricht das Phänomen der Entartung im Fall von 2D-Graphen nicht dem von Neumann-Wigner-Theorem.
Können wir also im Fall von 2D-Graphen sagen, dass eine gebrochene Inversionssymmetrie häufig zu einem Lückenspektrum führt ?
Ich werde / kann das hier nicht beantworten - Sie sollten eine andere Frage öffnen, damit andere Leute dies auch lesen.

der Dirac-Punkt auf Graphen wird durch verborgene Symmetrie geschützt. Und es wird sehr gut im Papier arXiv:1406.3800 erklärt. Es ist nicht so einfach, die verborgene Symmetrie zu verstehen. Persönlich dachte ich, es sei eine Kombination aus Inversion, Zeitumkehr und Reflexionssymmetrie, obwohl die verborgene Symmetrie in diesem Artikel nach meinem Verständnis eine völlig andere Form hat.

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