Ich studiere die Konstruktion der Wannier-Funktionen für 1D-Systeme mit periodischen Randbedingungen und meine Argumentation scheint sich ein wenig von dem zu unterscheiden, was ich in Lehrbüchern finden kann.

Zunächst einmal, wenn mein Gitter hat$M$Knoten, dann ist der zur 1. Brillouin-Zone gehörende Wellenvektor diskret und hat die Form:

$$k_{n} = -\frac{\pi}{d}\left(\frac{2}{M}n - 1 \right)$$ Wo$n = 0, 1, \ldots, M$Und$d$- Gitterabstand. So,$-\pi/d \le k_n \le \pi/d$. Insgesamt haben wir$M+1$verschiedene Werte. Sobald wir Bloch-Funktionen normalisiert haben$\psi_{n}(x)$wir definieren die Wannier-Funktion als: $$W(x) = \frac{1}{\sqrt{M+1}}\sum\limits_{n=0}^{M}\psi_{n}(x)$$ mit$1/\sqrt{M+1}$Koeffizient, der die Normalisierung gewährleistet: $$\int\limits_{0}^{L}dx\ W^{*}(x)W(x) = 1$$ Wo$L = d\cdot M$. Wir nutzen die Tatsache, dass: $$\int\limits_{0}^{L}dx\ \psi^{*}_{n}(x)\psi_{m}(x) = \delta_{n,m}$$ Die meisten Lehrbücher definieren die Wannier-Funktion mit$1/\sqrt{M}$was für meinen Geschmack falsch ist, weil die Wannier-Funktion nicht richtig normalisiert würde. Was denken Sie?

Zweite Sache. Betrachten wir den einfachsten Fall von freien Teilchen. Dann sind die Bloch-Funktionen die folgenden:

$$\psi_{n}(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}e^{i k_n x}$$ Nach meiner Definition der Wannier-Funktion erhalten wir: $$W(x) = \frac{1}{\sqrt{L(M+1)}}\sum\limits_{n=0}^{M}e^{i k_n x} = \frac{1}{\sqrt{L(M+1)}}\frac{\sin\left[\frac{\pi}{d}\left(\frac{1}{M} + 1 \right)x\right]}{\sin\left[\frac{\pi}{d}\frac{1}{M}x\right]}$$ In Lehrbüchern abgesehen von dem bereits erwähnten Unterschied zw$M$Und$M+1$Sie schreiben: $$W(x) = \sqrt{\frac{M}{L}}\frac{\sin(x \pi/d)}{x \pi/d}$$ Ich habe das numerisch für groß überprüft$M$ $$\frac{\sin\left[\frac{\pi}{d}\left(\frac{1}{N} + 1 \right)x\right]}{\sin\left[\frac{\pi}{d}\frac{1}{N}x\right]} \approx M\frac{\sin(x \pi/d)}{x \pi/d}$$ Weißt du, wie man das zeigt?

AKTUALISIEREN

Laut Definition ist die 1. Brillouin-Zone in 1D eine Reihe von Wellenvektoren, die auf eine Region beschränkt sind:

$$-\frac{\pi}{d} \le k_n < \frac{\pi}{d}$$ Wo $$k_n = \frac{\pi}{d}\left(\frac{2}{M}n - 1 \right)$$ mit$n = 0,1,\ldots, M-1$. Mit dieser Definition sieht die Wannier-Funktion für freie Teilchen so aus $$W(x) = \frac{1}{\sqrt{M L}}\sum\limits_{n=0}^{M-1}e^{i k_n x} = \frac{1}{\sqrt{M L}}\left\{ \cot\left( \frac{\pi}{d M}x \right) \sin\left( \frac{\pi}{d}x \right) - i\sin\left( \frac{\pi}{d}x \right) \right\}$$ Für groß$M$Die obige Funktion verhält sich wie folgt:$W(x) \approx \sqrt{\frac{M}{L}}\left\{ \frac{\sin(\pi x/d)}{\pi x/d} - i\sin(\pi x/d)\right\}$was aufgrund des unkompensierten Imaginärteils nicht das Lehrbuchergebnis ist. In der Originalarbeit von Kohn ersetzte er jedoch die diskrete Summe durch ein Integral. Meiner Meinung nach ist es nicht gut definiert (zusätzlicher Begriff fehlt). Betrachten Sie die Euler-Maclaurin-Formel $$\sum\limits_{n=0}^{M-1}f(n) = \sum\limits_{n=0}^{M} f(n) - f(M) \approx \int\limits_{0}^{M}dn\ f(n) + \frac{1}{2}\left(f(0) - f(M) \right) = \frac{d M}{2 \pi}\int\limits_{-\pi/d}^{\pi/d}dk \tilde{f}(k) + \frac{1}{2}\left(f(0) - f(M) \right)$$ Kohn und andere Autoren haben den zweiten Term vergessen, der nicht klein ist und eigentlich nicht davon abhängt$M$im Fall von freien Partikeln. Jetzt gibt die diskrete Formel die gleiche Antwort wie die Integraldarstellung - die Wannier-Funktion ist nicht rein reell, solange wir nicht zwei Extrempunkte in die Summation aufnehmen.