Anzahl der Bänder im 1D-Festbindungsmodell

Question

Anzahl der Bänder im 1D-Festbindungsmodell

Physik
enge Bindung
kondensierte Materie
Quantenmechanik
Festkörperphysik
elektronische-band-theorie

SRS

Ich las über den eindimensionalen eng bindenden Hamiltonian (TBH) mit einem Quantenzustand pro Atom

\begin{matrix} (1) & H = E_{0} \sum_{N} | N ⟩ ⟨ N | - T \sum_{N} (| N ⟩ ⟨ N + 1 | + | N + 1 ⟩ ⟨ N |) \end{matrix}

$H=E_0\sum\limits_{n}|n\rangle\langle n|-t\sum\limits_{n}\Big(|n\rangle\langle n+1|+|n+1\rangle\langle n|\Big)\tag{1}$ Wo

E_{0}

$E_0$ Und

t

$t$ bezeichnen die Vor-Ort-Energie bzw. den Hopping-Parameter . Der Hamilton-Operator von Gleichung (1) führt zur Elektronendispersionsbeziehung

\begin{matrix} (2) & E (k) = E_{0} - 2 T \cos (k A) \end{matrix}

$E(k)=E_0-2t\cos(ka)\tag{2}$ Wo

a

$a$ ist der Gitterabstand , und

k

$k$ ist die Wellenzahl .

$\bullet$ Wie zieht man den Schluss, dass dieser Hamiltonoperator nur zu einer Bande und nicht mehr als einer führt? Liegt es an der Energie $E(k)$ eine einwertige Funktion von $k$ ?

$\bullet$ Was ist (sind) die einfache(n) mögliche(n) Modifikation(en) an der eindimensionalen TBH von Gleichung (1), so dass mehr als ein Band erhalten wird? Wie ist die entsprechende körperliche Situation?

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Anzahl der Bänder im 1D-Festbindungsmodell

Gilbert · Answer 1

Als Faustregel gilt, dass es eine Anzahl von Bändern gibt, die den "Freiheitsgraden" des Gitters entsprechen. Sie können zusätzliche Freiheitsgrade erhalten, indem Sie mehrere Atomarten, mehrere Orbitale pro Atom, mehrere Kopplungsstärken usw. haben. Diese Freiheitsgrade erhöhen alle die Dimension Ihrer Hamilton-Matrix.

In diesem einfachsten 1-Atom-Beispiel ist Ihr Hamilton-Operator 1x1, sodass Sie nur einen Eigenwert pro Wellenvektor haben. Wenn Sie zwei Atome haben, sagen wir eine abwechselnde Reihe von Atomen A und B, mit unterschiedlicher Energie vor Ort, ist Ihr Hamilton-Operator 2x2, was zwei Eigenwerte pro Wellenvektor ergibt.

Eine etwas intuitivere Art, darüber nachzudenken, ist der Vergleich eines einfachen 1-d-Gitters mit dem alternierenden AB-Gitter. In diesen Gittern haben Sie insgesamt die gleiche Anzahl $k$ -Zustände (was der Anzahl der Atome im Kristall entspricht), aber im AB-Fall ist der Gittervektor doppelt so groß. Dies bedeutet, dass die Brillouin-Zone halb so groß ist und das Band in der zweiten Brillouin-Zone in die erste gefaltet wird, was zu zwei Bändern führt.

Ich bin mir nicht sicher, ob dieser letzte Teil für Sie sinnvoll ist, aber hoffentlich hilft das zumindest ein wenig!

Anzahl der Bänder im 1D-Festbindungsmodell

SRS

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Gilbert

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