Wie kann man die multiplen Banden verstehen, die man für Kristalle mit mehreren Atomen pro Einheitszelle wie Graphen erhält?

Graphen hat ein Wabengitter, das als Dreiecksgitter beschrieben werden kann, jedoch mit zwei Atomen pro Einheitszelle. Daher erweitern wir beim Auflösen nach der Bandstruktur des Graphens die Wellenfunktion wie folgt: (vollständige Beschreibung im Skript )

ψ k ( R ) = A k ψ k A ( R ) + B k ψ k B ( R ) ( 1 )

Wo ψ k A Und ψ k B sind Bloch-Wellenfunktionen. Erweitern ψ k A Und ψ k B basierend auf einem der Atomorbitale (z P z Orbitale, die zu Dirac-Kegeln führen), können wir schließlich die Schrödinger-Gleichung mit a schreiben 2 × 2 Hamiltonian (wegen der Form der Wellenfunktion und der beiden A Und B Koeffizienten ein ( 1 ) , was durch die Existenz von zwei Atomen pro Einheitszelle verursacht wird ). Finde die Eigenwerte davon 2 × 2 Hamiltonian, wir kommen zu den beiden π Energiebänder:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wir können die obige Wellenfunktion sogar in Form eines Spinors schreiben (siehe Vorlesungsskript , Gleichung ( 2.29 ) :

Ψ k = ( A k B k )
und definieren daher einen Pseudospin.

Während die Mathematik ziemlich klar erscheint, weiß ich nicht, wie ich an die beiden resultierenden Bänder denken soll, da sie für zwei Elektronen anstelle von einem erhalten werden.

Sind die beiden resultierenden Bänder wirklich zwei verschiedene Bänder, genau wie zwei verschiedene Bänder eines einfachen Ein-Atom-pro-Gitter-Kristalls wie Silizium? Wenn nicht, was sind die Unterschiede?
Zum Beispiel, wenn sich zwei unterschiedliche Bands bei manchen berühren k für Silizium haben wir eine zweifache Entartung. Handelt es sich hier um einen Dirac-Kegel, wo die beiden gleich sind π Bands berühren?

Ich denke die beiden π Bands können als Abkömmlinge von Bonding und Antobonding betrachtet werden π Orbitale (siehe z. B. isite.lps.org/sputnam/LHS_IB/IBChemistry/UNIT4ChemBonding/… ). Oder mit anderen Worten, Sie können sich vorstellen, dass die Elementarzelle mit zwei Kohlenstoffatomen und zwei Elektronen ein zusammengesetztes "Atom" mit zwei zusammengesetzten "Orbitalen" ist, die die symmetrischen und antisymmetrischen Überlagerungen von sind π Orbitale an zwei Kohlenstoffatomen (und haben unterschiedliche Energien!). Das Zusammenbringen dieser zusammengesetzten "Atome" führt zur Bildung von zwei Energiebändern aus diesen zusammengesetzten "Orbitalen".
@AlexeySokolik Scheint ein plausibler Hinweis zu sein, wie die Notation für die Bands ist π Und π ∗ zu. Danke.

Antworten (1)

Die zwei Bänder bedeuten nicht zwei Elektronen. Tatsächlich lösen wir die Bandstruktur für ein einzelnes Elektron . Die Einzelelektronenzustände sind diskrete Punkte auf der Oberfläche Ihres Diagramms mit Abständen 2 π L Wo L ist Ihre Systemgröße. Die Hauptannahme, die wir hier getroffen haben, ist:

Die Wechselwirkung zwischen Elektronen ist schwach und kann vernachlässigt werden.

Daher sind wir in der Lage, Elektronen in diese Zustände von niedrigeren Energien zu höheren zu füllen.

Um das Fermi-Niveau zu finden E F , können wir die Anzahl der Zustände zählen (unterhalb des Fermi-Niveaus sind alle Einzelelektronen-Zustände gefüllt). Angenommen, Ihr Graphen hat N Zellen und jede Zelle enthält 2 Atome und trägt 2 Elektronen bei. Absolut, es gibt 2 N Elektronen. Wir kennen die Anzahl von k Punkten in der 1 st Brillouin Zone ist gleich N (vgl. Lehrbuch der Festkörperphysik wie Kittel). Daher ist die Anzahl der Zustände im unteren Band 2 N (Zwei kommt von zwei Spins), was zufällig die Anzahl der Elektronen ist.

Das Vielkörperbild des Graphens ist Ihr Diagramm, bei dem alle Zustände im unteren Band gefüllt sind (Fermi-Niveau E F = 0 ).

Wir sagten, dass Graphen zwei Bänder hat, die sich berühren und Dirac-Kegel bilden. Hier besteht eine Mehrdeutigkeit, da zwei Bänder normalerweise eine Lücke ungleich Null zwischen zwei Energiespektren bedeuten. In Graphen ist die Lücke an den beiden Dirac-Punkten geschlossen. Weil sie sich nur an zwei Punkten berühren und nicht wirklich überlappen, nennen wir sie trotzdem zwei Bänder . Dies ist nur ein Terminologieproblem und hat keinen Einfluss auf die Physik.

Für den von Ihnen erwähnten Fall von Silizium können sich verschiedene Bänder kreuzen und eine zweifache Entartung aufweisen. Diese Art von Entartung kann durch kleine Störungen beseitigt werden. Die Dirac-Kegel in Graphen sind jedoch robust in dem Sinne, dass keine kleine Störung die Lücke öffnen kann. Dies hängt mit Graphen zusammen C 3 Rotationssymmetrie und Inversionssymmetrie. Die ausführliche Argumentation findet sich in Bernevigs Topologischen Isolatoren und Topologischen Supraleitern Kapitel 7.

Danke für die Antwort. Eine weitere Verwirrung: Was ist die Entartung der Energie E = 0 in diesem Fall für Graphen? Ist es zweifach entartet (wie in meinen Notizen angegeben ) oder vierfach, da wir zwei verschiedene Kegel haben, von denen jeder zweifach entartet ist? E = 0 (Weil π Und π ∗ anfassen E = 0 )?
An einem K-Punkt gibt es eine 4-fache Entartung aufgrund von Pseudospins und Spins. Man kann einen niederenergetisch effektiven Hamiltonian für ein Graphen-ähnliches System aufschreiben. Es ist eine 8x8-Matrix, die mit Spin und Punkten beschriftet ist K , K ' , und Unterverband A , B . In diesem Fall haben sie 8 Nullenergiezustände (wenn wir die Symmetrie von Graphen nicht brechen), da es zwei enthält K Punkte.
Wie kann man die multiplen Banden verstehen, die man für Kristalle mit mehreren Atomen pro Einheitszelle wie Graphen erhält?
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