Füllen von Energiebändern

Der Satz von Bloch besagt, dass die Eigenwerte und Eigenvektoren eines periodischen Ein-Elektronen-Hamiltonoperators durch Blochs Wellenvektoren gekennzeichnet werden können$\bf k$liegt in der ersten Brillouin-Zone. Für jede$\bf k$es gibt eine unendliche Menge von Lösungen des Eigenwertproblems, gekennzeichnet durch eine andere Quantenzahl,$n$, der Bandindex. Die Eigenwerte$E_n({\bf k})$hängen von beidem ab$n$Und$\bf k$, wobei stetige Funktionen von sind$\bf k$. Jede Funktion$E_n({\bf k})$, bei fest$n$, und für$\bf k$in der ersten Brillouin-Zone ist ein Energieband .

Die Ein-Elektronen-Eigenzustände$\psi^{(n)}_{\bf k}({\bf r})$kann verwendet werden, um eine vollständig antisymmetrische zu erstellen$N_e$-Elektronen-Grundzustands-Wellenfunktion durch Verwendung der am niedrigsten liegenden Eigenvektoren in einer Slater-Determinante, bei der jeder räumliche Zustand zweimal eintritt, einmal multipliziert mit einer Spin-Up- und dann multipliziert mit einer Spin-Down-Wellenfunktion.

Das Füllen des n-ten Bandes ist ein bildlicher Ausdruck, der besagt, dass alle$\bf k$Staaten der$n$-tes Band erscheint in der Slater-Determinante mit Doppelbesetzung (zur Berücksichtigung des Spins)

In einem endlichen periodischen Kristall (er kann durch Verwendung von periodischen 3D-Randbedingungen ( pbc ) erhalten werden) gibt es eine endliche Anzahl von${\bf k}$Vektoren in der ersten Zone Brillioin, genau gleich der Gesamtzahl$N$von Zellen im PBC- Kristall. Also, alle$N$ orbital ${\bf k}$Staaten einer Band können maximal untergebracht werden$N_e=2N$Elektronen.

Um eine möglichst geringe Energie (den Grundzustand) zu haben, muss man die Ein-Elektronen-Zustände „auffüllen“, dh nutzen, die Werte sortieren$E_n({\bf k})$, beginnend mit den niedrigsten Werten und unter Verwendung aller Zustände in aufsteigender Reihenfolge der Energie bis zur Anzahl der verwendeten Werte von$n$Und${\bf k}$ist genau gleich$\frac{N_e}{2}$(Denken Sie daran, dass es jeweils zwei Spin-Werte gibt$n$Und${\bf k}$).

Bei Isolatoren und Halbleitern hört ein solches geordnetes Auffüllen von Ein-Elektronen-Zuständen auf, wenn alle${\bf k}$Werte einer endlichen Anzahl von Bändern wurden verwendet. Der erste leere Zustand ist durch eine endliche Energielücke vom höchsten gefüllten Zustand getrennt. Bei Metallen sind die Dinge komplizierter, weil dort kein Spalt sauber zwischen gefüllten und leeren Bändern trennt und teilweise gefüllte Bänder erscheinen.

Zu Frage Nr. 2: Silizium ist in seiner kristallinen Gleichgewichtsstruktur unter normalen Bedingungen ein Halbleiter mit Diamantstruktur . Die Diamantstruktur ist kein reines Bravais-Gitter, sondern kann als fcc-Gitter mit einer Basis aus 2 Atomen beschrieben werden. Wenn der PBC-Kristall endlicher Größe enthält$N$Zellen, wird es geben$2N$Atome. Jedes Atom trägt zu den Valenzbändern bei$4$Elektronen ($3s^23p^2$elektronische Konfiguration des Atoms). Insgesamt wird der Kristall endliche Größe haben$N_e=8N$Valenzelektronen. Folglich wird die Anzahl der gefüllten Bänder sein$4$.