kkk-Intervall für die erste Brillouin-Zone

  1. Wenn wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in 1D für ein periodisches Potential lösen v ( X ) mit Wellenfunktion ψ ( X ) unterliegt einer periodischen Randbedingung: ψ ( X ) = ψ ( X + G A ) , Wo A ist der Zeitraum von v ( X ) Und G eine positive ganze Zahl ist, so dass die Gitterlänge L = G A , dann die allgemeine Form von ψ ( X ) wird von gegeben
    ψ k ( X ) = e ich k X u k ( X ) ,
    mit u k ( X ) = u k ( X + A ) Und k = 2 π G G A , G ∈ Z . Das ist das berühmte Bloch-Theorem.

Frage:

Es wurde gesagt, dass k ist nicht eindeutig bestimmt durch ψ k ( X ) und die Periodizität von u k ( X ) . Ich sehe den Grund nicht, warum das so ist.

  1. Für die erste Brillouin-Zone das Intervall für Momentum k wird oft von gegeben

[ − π A , π A ) .

Frage:

Warum nehmen wir den Punkt nicht auf π A ?

Das Lehrbuch, das ich verwende, ist The Wave Mechanics of Electrons in Metals von Stanley Raimes (Seite Nr. 198).

Antworten (1)

Sag, du weißt es ψ N ( X ) . Das werde ich zeigen ψ N ( X ) kann geschrieben werden als e ich k X u N ( X ) für unendlich viele verschiedene Werte von k Und u N . Nehmen wir an, Sie kennen eine Zerlegung ψ N ( X ) = e ich k X u N ( X ) . Der Satz von Bloch garantiert, dass eine solche Zerlegung existiert. Dann können wir auch schreiben

ψ N ( X ) = e ich ( k + 2 π N A ) X e − 2 π ich N A u N ( X )
Wo N ∈ Z ist eine beliebige ganze Zahl. Wenn wir definieren k ¯ ≡ k + 2 π N A , u ¯ N ( X ) ≡ e − 2 π ich N A u N ( X ) , Dann u ¯ N ( X ) ist periodisch mit Periode A Und ψ N ( X ) = e ich k ¯ X u ¯ N ( X ) . Daher, ψ N ( X ) kann auf viele verschiedene Arten zerlegt werden.

Wir nutzen diese Freiheit, um das einzufordern k ∈ [ − π A , π A ) . Wir schließen BEIDES nicht ein ± π A , da man durch Setzen das eine in das andere verwandeln kann N = ± 1 in der obigen Ableitung.

kkk-Intervall für die erste Brillouin-Zone
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