Ich habe also eine große Verwirrung mit QM, wie es auf Festkörper angewendet wird. Das Folgende ist eine Zusammenfassung dessen, was ich weiß, was ich zu wissen glaube und was ich weiß, aber nicht weiß. Ich hoffe, eine Diskussion anzuregen, die QM-Anwendern, aber Nicht-Experten wie mir, in Zukunft helfen wird.
Der Satz von Bloch ist eine Aussage über die Symmetrie, wenn Sie sich in einem perfekten Gitter befinden (unendlich, keine Defekte, null K). Aufgrund der Natur dieser Symmetrie muss die Wellenfunktion eine periodische Natur haben (der exp(ik)-Teil). Das ist in Ordnung und weitgehend nicht überraschend (obwohl sehr elegant).
Hier können wir darüber reden Raum, die nur die Harmonischen des Kristallgitters sind. Wir können darüber sprechen, wie viele Elektronen/Löcher sie enthalten können, ect. Wir nennen -Raum "Impuls"-Raum, weil die Fourier-Transformation des Positionsoperators der Impulsoperator ist. Physisch, Raum sind Moden von Gitterschwingungen. Diese Moden des Kristallgitters werden Phononen genannt.
Aber der Kristall ist nicht unendlich, die Temperatur ist nicht 0 und das Gitter ist nicht defektfrei.
Nehmen wir an, ich habe ein Nanopartikel mit einigen tausend Atomen, die mehr oder weniger gemäß einem Gitter angeordnet sind (das nicht unbedingt das Volumengitter sein muss, dh es könnte das Gitter eines Quasi-Kristalls sein). Es wird "Defekte", Oberflächenspannung, Oberflächenenergie, möglicherweise eine Korngrenze geben, und die Form des Partikels wird sich ständig weiterentwickeln (nicht Null ). All dies sind "Unvollkommenheiten", die gegen die Annahmen des Satzes von Bloch verstoßen.
Jetzt gilt der Satz von Bloch nicht, aber irgendwie wollen wir ihn trotzdem verwenden, weil es innerhalb des Clusters zumindest lokal eine gewisse Periodizität gibt. Gleichzeitig möchten wir aus unserer analytischen Antwort auf das H-Atom (s-, p-, d-, f-Orbitale) ausleihen.
Und hier verstehe ich überhaupt nichts mehr. Es wird ein neues Konzept eingeführt, das die partielle/projizierte Zustandsdichte (pdos) ist. Aber was stellt pdos dar, dh was ist das Leerzeichen? Was meinen sie mit „teilweise“, was projizieren sie, wenn sie von „projiziert“ sprechen? Warum und wie identifizieren sie f-, d-, ect-Orbitale? Wie werden diese Diagramme gelesen?
All dies und wir haben noch gar nicht angefangen, von Spin zu sprechen!
Satz von Blochs
Nun, Sie haben vollkommen Recht: So ziemlich jede Annahme des Bloch-Theorems wird selbst im einfachsten physikalischen System verletzt - es gab und wird nie einen Kristall geben, der die Annahmen bestätigt. Trotzdem liefert es ordentliche Ergebnisse. Nehmen wir einen Zweifel nach dem anderen:
Größe : So einfach ist das: Je größer der Kristall, desto besser das Ergebnis mit Bloch. Ich denke, es ist gut vorstellbar, dass eine Wellenfunktion eines Elektrons, das sich in der Mitte des Kristalls befindet, zu 99,9999% die Wellenfunktion ist, die das Bloch-Theorem vorhersagt, eine an der Oberfläche jedoch nicht. Aber mit zunehmender Größe nimmt das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen ab. Das bedeutet, wenn Sie das Bloch-Theorem verwenden, tendiert der Prozentsatz der richtigen Wellenfunktionen immer mehr zu 100%. Kristalle, die für Nicht-Nano-Messungen verwendet werden, erfüllen fast immer diese Bedingung. Wenn also der Satz von Bloch eine gute Annäherung für 99,9% der Wellenfunktionen ist, warum sollte man ihn nicht verwenden? Die Grenze, wo das Theorem als gut oder schlecht angesehen wird, kann nicht sehr gut quantisiert werden.
Temperatur : Die Bewegung der Atome und die Bewegung der Elektronen in einem einzigen Schritt zusammenzufassen, ist kompliziert. Deshalb tendiert man dazu, beides zu entkoppeln (siehe Born-Oppenheimer-Approximation ), sodass im ersten Rechenschritt oft angenommen wird, dass die Atome ruhen und die Elektronen sich bewegen (natürlich nur, wenn man sich nicht für Phononeneigenschaften interessiert) . Dies erlaubt eine Anwendung des Bloch-Theorems auf das Problem. Die Erfahrung zeigt, dass es funktioniert und Sie können in den meisten Fällen Elektron-Phonon-Effekte nachträglich einbauen. Hier ist also die Antwort, warum wir Blochs Theorem verwenden: Weil es trotzdem funktioniert (als Näherung).
Verunreinigungen : Die Anzahl der Verunreinigungen ist oft sehr gering im Vergleich zur Anzahl der richtig ausgerichteten Atome. Daher ist das Bloch-Theorem wiederum eine gute Annäherung.
Partielle Dichte von Staaten
Es ist etwas schwierig, Ihrer Frage zu folgen, da das Konzept der partiellen DOS nicht unbedingt das Bloch-Theorem erfordert.
Nehmen wir an, wir betrachten eine bestimmte Energie im gesamten DOS. Die Energie hat im Kristall eine entsprechende Wellenfunktion. Sie können nun die resultierende Wellenfunktion und ihre Symmetrie betrachten oder mathematisch analysieren. Die Wellenfunktion kann durch Wellenfunktionen der bereits bekannten s,p,d,f,... -ähnlichen Funktionen angenähert werden. Wenn wir also zB. (in heuristischer Schreibweise) eine Wellenfunktion, die gut angenähert ist durch eine Funktion 0.8*s-artig + 0.1*p-artig + ... man könnte der Energie in der DOS einen 80% s-Charakter und einen 10% p- Charakter zuweisen Charakter und so weiter. Da s,p,...-ähnliche Funktionen ursprünglich Funktionen um ein einzelnes Atom herum sind, muss das s,p,...-ähnliche in der Volumenfunktion als gemittelt über jedes beitragende Atom in der Einheitszelle verstanden werden.
Dies kann in ein s-DOS, ein p-DOS usw. übertragen werden (das ist die "Projektion" auf die s,p,...-Zustände), die sich natürlich alle zum vollständigen DOS addieren.
Meiner Meinung nach ist der beste Weg, das Bloch-Theorem zu verstehen, die Mathematik zu durchlaufen.
Zunächst betrachten wir einfach ein perfektes Gitter mit einer gewissen Periodizität und können durch ein reziprokes Gitter beschrieben werden. Dann haben wir aus der Periodizität des Gitters (lasst uns einfach eine 1D-Kette mit der Periodizität L betrachten) die Kommutatorbeziehung .
Für einen endlichen Kristall können wir durch Anwendung der periodischen Randbedingung und der Übersetzung durch die L-Operation das Bloch-Theorem haben, das die Form der Energieeigenfunktion in diesem Kristall für das Elektron angibt (beachten Sie, dass wir auch die Einzelelektronen-Näherung nehmen ).
Um zu verstehen, wie das Bloch-Theorem auf die reale Situation angewendet werden kann, denken Sie einfach an die Störungstheorie - indem wir einige Modelle erstellen und diese Störungsterme hinzufügen, können wir eine gute Annäherung an die Situation haben.
Benutzer16035
Benutzer16035
LeFitz