Kristallimpuls in einem periodischen Potential

Question

Kristallimpuls in einem periodischen Potential

Ultima

Ich arbeite mich durch eine grundlegende Theorie zu periodischen Potentialen und würde mich über Hilfe beim Verständnis des Kristallimpulses freuen. Angenommen, wir haben ein Bravais-Gitter mit Gittervektoren $\textbf{R}$ . Es gibt ein zugehöriges reziprokes Gitter mit Gittervektoren $\textbf{K}$ so dass $\textbf{K} \cdot \textbf{R} = 2\pi n$ für $n \in \mathbb{Z}$ . Die Beziehung zwischen diesen beiden Gittern sorgt dafür, dass sich ebene Wellen bilden $e^{i \textbf{K} \cdot \textbf{r}}$ sind im direkten Gitter periodisch. Eine Konsequenz aus dem Satz von Bloch ist, dass die Zustände $\langle x|\psi \rangle$ eines Teilchens nehmen die Form an

ψ_{N k} (R) = e^{ich k \cdot R} u (R),

$\psi_{n\textbf{k}}(\textbf{r}) = e^{i \textbf{k} \cdot \textbf{r}}u(\textbf{r}),$

Wo

u (R + R) = u (R) .

$u (\textbf{r} + \textbf{R}) = u(\textbf{r}).$

Für diese Wellenfunktionen gilt $\textbf{p} \equiv \hbar \textbf{k}$ ist definiert als der Kristallimpuls. Der kanonische Impuls ist für dieses Problem schlecht definiert, da der Kristall die Translationssymmetrie bricht. Allerdings für jede Übersetzung $T_{\textbf{R}}$ innerhalb eines Gittervektors, $[H, T_{\textbf{R}}] = 0$ . Meine Fragen sind:

In der ersten Gleichung glaube ich derzeit, dass $\textbf{k}$ kann ein beliebiger Vektor sein und gehört nicht unbedingt zum Satz reziproker Wellenvektoren (d. h. $\textbf{k} \notin \{\textbf{K}\}$ Notwendig). Da dies wahr ist, was ist $\psi_{n\textbf{k}+\textbf{K}}?$
Angenommen, ein Teilchen hat einen Kristallimpuls $\textbf{p} = \hbar \textbf{k}$ . Wie interpretieren wir $\textbf{p}' = \hbar (\textbf{k} + \textbf{K})$ ?
Obwohl es keine kontinuierliche Symmetrie im Gitter gibt, gibt es eine diskrete Symmetrie des Potentials $U(\textbf{r} + \textbf{R}) = U(\textbf{r})$ , und damit des Hamiltonoperators. Wenn der Satz von Noether hier nicht gilt, welche Größe wird in der Zeit "erhalten", und wie rechtfertigen wir eine solche Erhaltung im Allgemeinen?

Nikos M.

von der Spitze meines Kopfes,

K

$K$ scheint der Kern/Nullraum der Impulse zu sein , also

k + K

$k+K$ Der auf einen Zustand wirkende Impuls sollte die gleiche Wirkung haben wie

k

$k$ Impuls, der auf einen Zustand wirkt (vorausgesetzt, was gesagt wird

k \notin {K}

$k \notin \{K\}$ )

Antworten (1)

Kristallimpuls in einem periodischen Potential

von der Spitze meines Kopfes, $K$ scheint der Kern/Nullraum der Impulse zu sein , also $k+K$ Der auf einen Zustand wirkende Impuls sollte die gleiche Wirkung haben wie $k$ Impuls, der auf einen Zustand wirkt (vorausgesetzt, was gesagt wird $k \notin \{K\}$ )

Xcheckr · Answer 1

(1) Seit $u(\textbf{r}) = u(\textbf{r}+\textbf{R})$ , können wir diesen Teil in Bezug auf reziproke Gittervektoren erweitern, $u_k(\textbf{r}) = \sum_\textbf{G}{e^{i\textbf{G}\cdot \textbf{r}}u_\textbf{k-G}}$ . Wir können daher schreiben:

ψ_{k + K} = e^{ich (k + K) \cdot R} \sum_{G'} e^{ich G' \cdot R} u_{k - K - G^{'}} = e^{ich k \cdot R} \sum_{G'} e^{ich (G' + K) \cdot R} u_{k - K - G^{'}} = e^{ich k \cdot R} \sum_{G} e^{ich G \cdot R} u_{k - G} = ψ_{k}

$\begin{equation} \psi_{\textbf k+\textbf K} = e^{i(\textbf k + \textbf K)\cdot \textbf r}\sum_\textbf{G'}{e^{i\textbf{G'}\cdot \textbf{r}}u_{\textbf k-\textbf K- \textbf G'}} = e^{i\textbf k \cdot \textbf r}\sum_\textbf{G'}{e^{i(\textbf{G'}+\textbf K)\cdot \textbf{r}}u_{\textbf k-\textbf K- \textbf G'}}=e^{i\textbf k \cdot \textbf r}\sum_\textbf{G}{e^{i\textbf{G}\cdot \textbf{r}}u_{\textbf k-\textbf G}} = \psi_\textbf k \end{equation}$ Wo

G = K + G^{'}

$\textbf G = \textbf K+\textbf G'$ .

(2) Sie können interpretieren $\textbf p'$ als gleich $\textbf p$ . Dies gilt, weil das Realraumgitter periodisch ist; $\textbf k$ ist immer gleich $\textbf k + \textbf K$ .

(3) Die Erhaltungsgröße ist $\textbf k$ $\textit mod$ $\textbf K$ . Sie können sehen, dass ich diese Tatsache in der Antwort auf (2) verwendet habe.

Sie können fast jedes Lehrbuch der Festkörperphysik zur vollständigen Begründung lesen, obwohl mein persönlicher Favorit Zimans Theory of Solids ist.

Ah, danke, dass du meine Verwirrung beseitigt hast! Es macht Sinn, dass Sie erweitern müssen $\psi$ im k-Raum, um die Gleichheit zu erhalten. Könnten Sie mir möglicherweise einen Beweis dafür geben, wie dies folgt $\textbf{k}$ ist die Erhaltungsgröße? Ich nehme an, es besteht wahrscheinlich darin, den Hamiltonian auch im k-Raum auszudrücken und zu zeigen, dass [H, k] = 0, aber ich könnte mich irren.
Nun, es ist per se keine konservierte Größe (nur $\textbf k mod \textbf K$ ). Wie auch immer, Ashcroft und Mermin Kapitel 8 ist an dieser Front ziemlich gut.
Das ist was ich dachte. Es ist keine konservierte Größe in der Zeit, nur eine Größe, die unter Transformationen der Form unveränderlich ist: $k \to k + K$ $\textbf{k} \to \textbf{k} + \textbf{K}$
@Ultima Warum nicht die Kommutierungsbeziehung berücksichtigen $[H,T_{\textbf{R}}]=0$ plus die Heisenberg-Bewegungsgleichung, um das zu behaupten $\textbf{k}$ wird in der Zeit konserviert? Wir können auch davon ausgehen $\textbf{k}$ der Erzeuger von sein $T_{\textbf{R}}$ .

Kristallimpuls in einem periodischen Potential

Ultima

Nikos M.

Antworten (1)

Xcheckr

Ultima

Xcheckr

Ultima

SRS

Überblick und Zweifel an Blochs Theorem und dem Konzept der partiellen Zustandsdichte

Erhaltung des Kristallimpulses

Ausbreitungsbeziehung in der Nähe von Brillouin-Zonen - Periodische Potentiale

Gibt es translationsinvariante Hamiltonianer, die nicht paritätssymmetrisch sind?

Warum brauchen wir die Quantisierung für Gitterschwingungen?

Kann die Impulserhaltung verletzt werden?

Topologie und Supraleiter-Symmetriebrechung

kkk-Intervall für die erste Brillouin-Zone

Notationen für hohe Symmetriepunkte in der 1. Brillouin-Zone

Form von Tensoren 3. Ordnung in Oh,O,TdOh,O,TdO_h, O, T_d und D3D3D_3-Punkt-Gruppen