Gibt es translationsinvariante Hamiltonianer, die nicht paritätssymmetrisch sind?

Gibt es translationsinvariante Hamiltonianer, die nicht paritätssymmetrisch sind? Ich denke hauptsächlich an den Zustandsraum eines einzelnen massiven Teilchens in einer oder mehreren Dimensionen, aber ich möchte die Frage absichtlich etwas vage halten, um zu sehen, wie pathologisch ein Beispiel sein muss, um ein System zu haben mit dieser Art von Symmetrie.

Außerdem interessiere ich mich hauptsächlich für Systeme, die keine Symmetrie haben, die vernünftigerweise als Paritätstransformation interpretiert werden könnte. Damit meine ich, dass Sie einen 1D-Hamiltonian erstellen können, der "die Parität bricht", indem Sie ihn haben

H = 1 2 P 2 + P 0 P
Wo P 0 ist eine Konstante, aber das ist eindeutig nicht so interessant, da Sie sich einen deformierten 'Paritäts'-Operator der Form einfallen lassen können P ' = e − ich P 0 X P e ich P 0 X (d.h. ein Boost durch P 0 , Parität und ein Boost zurück durch P 0 ). In dieser Hinsicht wäre der klarste Erfolgsmarker ein translationsinvarianter Hamiltonoperator mit großen Teilen eines nicht entarteten Spektrums.

Ist das möglich? Wie weit müssen Sie die normalen Beispiele biegen, um dorthin zu gelangen?

Bearbeiten: Um die Motivation für diese Frage ein wenig zu erklären, kreist dieser verwandte Thread um Ansprüche des Formulars

Wenn H ist translationsinvariant und | ψ ⟩ ist eine Eigenfunktion von H , Dann | ψ ⟩ muss auch übersetzungsinvariant sein

die normalerweise dadurch zunichte gemacht werden, dass eine translationsinvariante H ist normalerweise in dieser Richtung paritätssymmetrisch, was eine Entartung in fast das gesamte Spektrum einführt und daher das übliche Nicht-Entartungsargument nutzlos macht.

Nun, Übersetzungsinvarianz und Inversionssymmetrie kommen normalerweise in realen Hamiltonianern zusammen, aber sie sind formal unabhängig, und es gibt keinen Grund, warum Ersteres nicht ohne Letzteres für einen „pathologisch genug“ Hamiltonian kommen kann. Die Frage hier ist also, was bedeutet „genug“ nach dem Pathologischen? Wie weit abseits der ausgetretenen Pfade müssen Sie gehen? Und wie viele der wünschenswerten Eigenschaften eines Hamiltonoperators (wie zB Beschränktheit von unten oder Existenz eines Grundzustandes) können Sie dabei erhalten?

FWIW, der Hamiltonoperator des Standardmodells, ist unter Translationen invariant und bricht die Paritätssymmetrie. Ich denke, Sie haben jedoch Punktmechanik anstelle von QFT im Sinn.
Was meinst du mit 1D? Sollen Feldtheorien in 2D oder 4D ausgeschlossen werden?
@Arnold Das war nur ein einfaches Beispiel für Einzelpartikel-QM - ich möchte keine Dimensionalität von Antworten ausschließen, obwohl ich Antworten bevorzugen würde, die QFT nicht beinhalten, wenn dies möglich ist (und wenn dies nicht der Fall ist, die Gründe dafür sind eine interessante Frage, die ich für sich genommen habe, und dies ist ein guter Ort dafür).
Die hervorgehobene Aussage im Bearbeiten-Teil gilt genau dann, wenn die Eigenfunktion zu einem einfachen Eigenwert gehört. Das ist einfache lineare Algebra und hat nichts mit Parität zu tun.
@ArnoldNeumaier Ja, das ist sozusagen der Punkt - die Behauptung ist im Allgemeinen offensichtlich falsch, wie im verlinkten Thread ausführlich besprochen. Die Verbindung zur Parität besteht darin, dass normalerweise die Parität der unvermeidliche Grund ist, warum der Eigenwert nicht einfach ist und die Aussage nicht anwendbar ist.
Aber auch bei Parität ist es falsch, sobald die Multiplizität größer als 2 ist!
@ArnoldNeumaier Ich verstehe deinen Kommentar nicht. Offensichtlich gibt es sehr stark entartete Hamiltonianer in hohen Dimensionen, aber der einfachste nichttriviale translationsinvariante Hamiltonian ist 1 2 P 2 in 1D und hat aufgrund der Parität die Multiplizität 2; Das übergeordnete Thema ist, ob es übersetzungsinvariante Hamiltonianer mit nur einzelnen Eigenwerten gibt, und insbesondere die Behandlung des offensichtlichsten Stolpersteins, der für natürliche Hamiltonianer die Parität ist.
@ArnoldNeumaier Und noch einmal, wenn Sie die Frage so anstößig finden, können Sie gerne wie gewohnt für das Schließen abstimmen / abstimmen. Soweit es mich betrifft, hat Ihre Antwort jedoch dazu beigetragen, mein Denken in die richtige Richtung zu lenken, um zu finden, wonach ich gesucht habe.
ob es übersetzungsinvariante Hamiltonianer mit nur einzelnen Eigenwerten gibt - Natürlich gibt es sie; fast alle in meiner Antwort!

Antworten (2)

OK, also denken Sie ein bisschen mehr darüber nach und schlagen vor, mit den Impuls-Eigenfunktionen zu arbeiten und ihre Eigenwerte so zu platzieren, dass sowohl Entartungen als auch Unbeschränktheit von unten vermieden werden. Hier ist ein Beispiel. Arbeiten in L 2 ( R ) , betrachten Sie den Hamiltonian

H ^ = H 0 exp ⁡ ( A P ^ / ℏ ) = H 0 exp ⁡ ( − ich A D D X ) ,
Wo A Und H 0 sind Konstanten mit Längen- bzw. Energiedimensionen und P ^ ist der übliche Impulsoperator. Dieser Operator ist translationsinvariant, scheint aber keine einfache Beziehung zu seiner Spiegelversion zu haben (und, was noch wichtiger für die verknüpfte Motivation ist, hat er keine Entartungen).

Außerdem ist das Spektrum nach unten begrenzt, aber leider scheint es keinen eindeutigen Grundzustand zu haben (da die Sequenz ψ N ( X ) = e − ich N X / A hat Eigenenergien H 0 e − N die sich asymptotisch Null nähern, aber nie erreichen), und in Begriffen von Hamiltonianern der Form denken H ^ = H 0 F ( A P ^ / ℏ ) schlägt keine offensichtlichen Wege vor, um einen klaren Grundzustand zu erhalten, ohne Entartungen in das Spektrum einzuführen.

Daher werde ich dies als Teilantwort betrachten - hoffentlich kann ein ähnliches Beispiel auftauchen, das einen Grundzustand hat.

Wie wäre es mit H = 1 2 ( P 1 2 + P 2 2 ) + v ( P , X 1 − X 2 ) , Wo v ( P , R ) ist eine beliebige ungerade Funktion, dh v ( − P , − R ) = − v ( P , R ) . Es sollte eine Auswahl möglich sein v so dass keine Eichtransformation den Hamilton-Operator zu einem paritätsinvarianten vereinfachen kann.

Davon gibt es jede Menge v . Zum Beispiel alle Linearkombinationen von Produkten einer beliebigen ungeraden Anzahl von Variablen P 1 , P 2 , R arbeiten. Diese hängen von unendlich vielen Parametern ab. Wohingegen die physikalisch natürlichen vereinfachenden Transformationen, die es ermöglichen würden, die transformierte Parität immer noch vernünftigerweise als Parität zu bezeichnen, nur wenige Parameter haben. Also für die meisten v es gibt keine natürliche Parität, die erhalten bleiben würde.

Wenn Sie eine Übersetzungsinvarianz in 3D wünschen, funktioniert dasselbe mit vektorbewertet P 1 , P 2 , X 1 , X 2 des Tages 3.

Was ist die Rolle von A in diesem Ausdruck? Die Mischung aus geraden kinetischen und ungeraden Potentialtermen ist interessant, tut es aber nicht A verschwinden nach einer geeigneten Eichtransformation? (Entschuldigung, mein Gehirn ist heute etwas träge)
Ich werde in meiner Antwort erklären.
Ich freue mich darauf v =) - es sieht für mich nicht nach einer trivialen Eigenschaft aus. Wenn Sie es im Formular belassen H = 1 2 ( P 1 2 + P 2 2 ) + v ( X 1 − X 2 ) , aber durch Drehen in der X 1 , X 2 Ebene, wir können diesen Hamiltonian umformulieren als H = 1 2 ( P ~ 1 2 + P ~ 2 2 ) + v ( X ~ 1 ) , die keine bestimmte Parität hat X ~ 1 die aber eine passende Parität auf weist X ~ 2 , Einführung von Entartung.
(Siehe bearbeitete Frage für etwas mehr zur Motivation.)
@EmilioPisanty: Nun, du hast die Frage komplett geändert. Das macht die Beantwortung zu einem undankbaren Sisyphos-Job. - Beachten Sie, dass ich die hatte A und später die allgemeineren v nur um zu verhindern, dass solche einfachen Umformulierungen es ermöglichen, eine erhaltene Parität wiederzugewinnen.
@ Arnold Entschuldigung für den Mangel an Klarheit in der früheren Frage, und diese Unebenheiten waren ursprünglich in den unscharfen Definitionen von Parität und Übersetzungsinvarianz verborgen, denke ich. Ich bin jedoch immer noch an coolen Einstellungen interessiert, die Sie zur ursprünglichen Frage haben könnten, insbesondere wenn sie sich auf ein strengeres Verständnis dieser beiden Begriffe beziehen.
Gibt es translationsinvariante Hamiltonianer, die nicht paritätssymmetrisch sind?
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