Wenn der Hamiltonoperator eines quantenmechanischen Systems unter räumlicher Translation invariant ist, dann ist der lineare Impuls eine Bewegungskonstante. Können wir abgesehen davon etwas über die Natur der Energie-Eigenzustände sagen ? Was ist, wenn der Hamilton-Operator unter diskreter Translation wie in einem periodischen Kristall unveränderlich ist?
BEARBEITEN: Wenn beispielsweise der Hamiltonian paritätsinvariant ist, sind nicht entartete Energieeigenzustände entweder gerade oder ungerade. Können wir also auf etwas Ähnliches schließen? Das Bloch-Theorem handelt von der diskreten Übersetzung. Was würde passieren, wenn die Translationssymmetrie kontinuierlich ist?
Ich interessiere mich nicht für ein bestimmtes Beispiel eines translationsinvarianten Hamilton-Operators. Ich interessiere mich für die Eigenschaft der Energieeigenzustände eines generischen translationsinvarianten Hamiltonoperators. Insbesondere vermute ich, dass Translationsinvarianz zu einem Energieeigenzustand führt, der räumlich delokalisiert ist. Aber ich bin nicht in der Lage, es mathematisch zu zeigen.
Nein , eine solche Anforderung besteht nicht. Es ist ziemlich einfach, Gegenbeispiele zu finden, bei denen Sie übersetzungsinvariante Hamiltonianer haben, die lokalisierte Energieeigenzustände ohne eine solche Übersetzungsinvarianz haben. Insbesondere Ihre Aussage,
Translationsinvarianz führt zu einem räumlich delokalisierten Energieeigenzustand,
ist im Allgemeinen falsch, vorausgesetzt, das vernünftige Verständnis des Obigen in die genauere Aussage
Wenn ist translationsinvariant und ist eine Eigenfunktion von , Dann muss auch übersetzungsinvariant sein
was nicht hält.
Um ein einfaches Gegenbeispiel zur obigen Aussage zu machen, betrachten Sie den Hamiltonian für ein freies Teilchen in zwei Dimensionen, , die offensichtlich Translationsinvarianz und translationsinvariante Eigenfunktionen der Form hat
Das heißt, wenn Sie wirklich nach einem Analogon des von Ihnen angegebenen ursprünglichen Ergebnisses suchen,
Wenn der Hamilton-Operator paritätsinvariant ist, sind nicht entartete Energieeigenzustände entweder gerade oder ungerade
dann ja, es ist möglich - aber es ist absolut entscheidend, nicht entartete Eigenwerte zu haben. (Dies gilt natürlich auch im Paritätsfall, und wenn Sie gerade und ungerade Eigenzustände mit demselben Eigenwert haben, ist es trivial, Eigenzustände mit gemischter Parität zu konstruieren, die keine bestimmte Symmetrie haben.)
Wenn Sie es schaffen, einen translationsinvarianten Hamiltonian zu finden so dass und ein Eigenwert ist nicht entartet (wie zB für ein freies Teilchen als den einzigen physikalisch relevanten Fall), dann ja, den Eigenzustand muss translationsinvariant sein, da muss ein Eigenzustand desselben Eigenwerts sein, und aufgrund der Nichtentartung muss er proportional zu sein , dh , So ist translationsinvariant.
Es ist jedoch höchst unwahrscheinlich, dass Sie nichttriviale , physikalisch sinnvolle Hamiltonianer finden, die translationsinvariant, aber nicht paritätsinvariant sind, sodass Sie in allen Eigenwerten ungleich Null immer mindestens eine zweifache Energieentartung haben, was das obige Argument weitgehend nutzlos macht .
Es scheint mir, dass Sie an folgendem Theorem interessiert wären:
Wenn zwei Operatoren Und pendeln, können wir eine gemeinsame Eigenbasis von Vektoren finden so dass Und .
Wenden wir dies auf die Systeme an, von denen Sie sprechen:
Wenn der Hamilton paritätsinvariant ist, bedeutet das . Dann können wir nach obigem Satz die Eigenbasis von wählen so dass jeder Eigenvektor hat definitive Parität, . Daraus schließen wir
Lassen sei eine Übersetzung von . Wenn der Hamilton translationsinvariant ist (kontinuierliche Symmetrie), dann für alle . Erinnern
Wenn nur für diskret . Durch erneute Anwendung des Satzes erhalten wir, dass wir eine Basis wo wählen können
Wichtig: "Wir können eine Eigenbasis finden, so dass ..." bedeutet nicht im Allgemeinen, dass alle Basen von dieser Form sind. Wenn das Spektrum von entartet ist, werden wir im Allgemeinen Basisvektoren von aufschreiben können die die Symmetrie des anderen Operators nicht respektieren, sei es oder . Siehe die Antwort von Emilio Pisanty.
Der Einfachheit halber arbeite ich in einer räumlichen Dimension. Wenn der Hamiltonoperator translationsinvariant ist, dh wenn
für den unitären Übersetzungsoperator
dann können wir simultane Eigenzustände finden sowohl des Hamilton-Operators als auch des Übersetzungsoperators, wo Und Betrachten Sie die räumliche Wellenfunktion
Für diskrete translationsinvariante Systeme gilt der Satz von Bloch .
Für kontinuierliche Translationsinvarianz des Hamiltonoperators ist der Hamiltonoperator eine Konstante ( ). Daher sind ebene Wellen eine Menge von Eigenzuständen (was tatsächlich auch mit der Kontinuumsgrenze des Satzes von Bloch übereinstimmt).
Alpha001
SRS
Alpha001
SRS
Alpha001
Parker