Quantenerklärung von Newtons drittem Bewegungsgesetz

Question

Quantenerklärung von Newtons drittem Bewegungsgesetz

Mohammad Al-Turkistany

Das Newtonsche Gesetz besagt, dass es für jede Aktion eine gleiche und entgegengesetzte Reaktion gibt. Dieses Gesetz erklärt, wie Raketen im Weltraum fliegen, und es erklärt auch den Großteil der Auftriebswirkung, die von den Flügeln eines Flugzeugs erzeugt wird.

Gibt es eine fundamentale Quantenerklärung des dritten Bewegungsgesetzes?

Antworten (3)

Quantenerklärung von Newtons drittem Bewegungsgesetz

Frech · Answer 1

Newtons drittes Gesetz besagt, dass wenn Objekt A mit Kraft auf Objekt B einwirkt $\mathbf{F}_{AB}$ , dann muss Objekt B mit Kraft auf Objekt A einwirken:

F_{B EIN} = - F_{EIN B}

$\mathbf{F}_{BA}=-\mathbf{F}_{AB}$

In Bezug auf den Impuls von A und B ausgedrückt, kann dieselbe Gleichung geschrieben werden als:

\frac{d p_{EIN}}{d t} = - \frac{d p_{B}}{d t}

$\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}_A}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}_B}{\mathrm{d} t}$

Neuordnung:

\frac{d}{d t} [p_{EIN} + p_{B}] = 0

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left [ \mathbf{p}_A + \mathbf{p}_B \right ] = 0$

Oder:

p_{EIN} + p_{B} = c Ö n s t a n t

$\mathbf{p}_A + \mathbf{p}_B = constant$

Diese besagt, dass A und B so aufeinander einwirken müssen, dass die Summe ihrer Impulse über die Zeit konstant ist. Das dritte Newtonsche Gesetz ist also nur ein Ausdruck der Impulserhaltung. Die Impulserhaltung selbst kann als Folge der räumlichen Translationssymmetrie angesehen werden, wie der Satz von Noether zeigt. Diese Symmetrie bleibt in der Quantenmechanik erhalten, daher gilt die Impulserhaltung auch in der QM.

kd88 · Answer 2

Grundsätzlich Newtons 3 $^{\text{rd}}$ Das Gesetz ist eine Aussage über die Erhaltung des Viererimpulses, die durch fundamentale Symmetrien in der Natur durch den Satz von Noether impliziert werden kann . Hier spielen keine quantenmechanischen Effekte eine Rolle, da bei Berechnungen auf der Quantenskala Raum/Zeit-Symmetrien (verbunden mit der Erhaltung des Viererimpulses) angenommen werden.

Eine Katze · Answer 3

Ein herablassender Kommentar

Jedes klassische Gesetz hat einen quantenmechanischen Ursprung – im Prinzip. Es ist also immer ein bisschen besser, darüber nachzudenken, was der quantenmechanische Ursprung eines bestimmten klassischen Gesetzes ist, als darüber nachzudenken, ob es einen quantenmechanischen Ursprung gibt oder nicht. Selbstverständlich ist es nicht erforderlich, dass uns eine solche explizite Erklärung immer bekannt ist.

Wie viele Antworten darauf hingewiesen haben, stellen die Noether-Theoreme sicher, dass der Impuls erhalten bleibt, und als direkte Folge davon (solange die Freiheitsgrade, die den Impuls tragen können, nur die Teilchenfreiheitsgrade sind) das dritte Gesetz von Newton folgt. Dies wurde in der ersten Hälfte der Antwort von @Jold wunderbar demonstriert.

Aber der Grund, warum ich diese Antwort schreibe, ist, dass dies bisher eine völlig klassische Geschichte war. Es ist nicht wirklich angenehm zu sagen, dass die Noether-Sätze auch in der Quantenmechanik ihre Gültigkeit behalten und damit das dritte Newtonsche Gesetz auf seine Quantenursprünge zurückgeführt wurde. Ich sage nicht, dass dies nicht korrekt ist, aber ich sage nur, dass dies alles zu handgewellt klingt, wenn man nach Details sucht - das OP hat nicht ausdrücklich nach den Details gefragt, aber ich möchte trotzdem einige Details zur Verfügung stellen Vollständigkeit, soweit ich dazu in der Lage bin.

Daher habe ich vor, etwas detaillierter zu zeigen, wie die Erhaltung des klassischen Impulses aus der Anwendung von Symmetrie-Argumenten in der Quantenmechanik entsteht. Sobald dies erledigt ist, ist der Rest des Spiels unkompliziert, wie oben und in der Antwort von @Jold zusammengefasst.

Zunächst zeigen wir, dass der Impulsoperator der Generator der räumlichen Translationen in der Quantenmechanik ist. Zweitens zeigen wir (fast trivialerweise), dass der Kommutator des Impulsoperators verschwindet, wenn das System (dh der Hamiltonoperator) Translationsinvarianz respektiert. Schließlich zeigen wir mit Hilfe des Satzes von Ehrenfest, dass der Erwartungswert des Impulsoperators somit zeitlich konstant ist – und das bedeutet, dass der klassische Impuls erhalten bleibt.

Der Impulsoperator ist der Generator der räumlichen Übersetzung in der Quantenmechanik

Nehmen wir an, es gibt eine Klasse von Operatoren $T_\epsilon$ (wobei der infinitesimale reelle Parameter $\epsilon$ parametrisiert die Klasse) spezifiziert (vollständig und konsistent) über ihre Aktion auf der vollständigen orthonormalen Positionseigenbasis wie folgt

T_{ϵ} | x ⟩ = | x + ϵ ⟩

$T_\epsilon|x\rangle=|x+\epsilon\rangle$ Also ein solcher Operator

T_{ϵ}

$T_\epsilon$ ist als der Übersetzungsoperator definiert, der ein Positions-Eigenket durch übersetzt

ϵ

$\epsilon$ .

Beiseite

Das ist die Aktion des Betreibers $T_\epsilon$ auf einen generischen physikalischen Zustand $|\psi\rangle$ entspricht physikalisch der klassischen Übersetzung des entsprechenden klassischen Teilchens durch $\epsilon$ kann durch den Nachweis verifiziert werden
$⟨ ψ | T_{ϵ}^{†} X T_{ϵ} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | X | ψ ⟩ + ϵ$ $\langle\psi|T_\epsilon^\dagger X T_\epsilon|\psi\rangle=\langle\psi|X|\psi\rangle+\epsilon$ und $⟨ ψ | T_{ϵ}^{†} P T_{ϵ} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | P | ψ ⟩$ $\langle \psi|T_\epsilon^\dagger P T_\epsilon|\psi\rangle=\langle\psi|P|\psi\rangle$ wo $X$ und $P$ sind die Orts- bzw. Impulsoperatoren.

Nun, um den Operator explizit zu konstruieren $T_\epsilon$ , erweitern wir es in $\epsilon$ auf die erste Bestellung als

T_{ϵ} = ich - \frac{ι ϵ}{ℏ} G

$T_\epsilon=I-\dfrac{\iota\epsilon}\hbar G$ wo

G

$G$ ein Operator ist, der durch die obige Gleichung definiert ist. Es wird Übersetzungsgenerator genannt. Nun, das kann man sehen

⟨ x | T_{ϵ} | ψ ⟩ = ψ (x + ϵ)

$\langle x|T_\epsilon|\psi\rangle=\psi(x+\epsilon)$ Somit können wir nun beide Seiten bis zur ersten Ordnung erweitern

ϵ

$\epsilon$ bekommen

⟨ x | ich | ψ ⟩ - \frac{ι ϵ}{ℏ} ⟨ x | G | ψ ⟩ = ψ (x) + ϵ \frac{\partial}{\partial x} ψ (x)

$\langle x|I|\psi\rangle-\dfrac{\iota\epsilon}{\hbar}\langle x |G|\psi\rangle=\psi(x)+\epsilon\dfrac{\partial}{\partial x}\psi(x)$ Oder,

⟨ x | G | ψ ⟩ = \frac{ℏ}{ι} \frac{\partial}{\partial x} ψ (x)

$\langle x |G|\psi\rangle=\dfrac{\hbar}{\iota}\dfrac{\partial}{\partial x}\psi(x)$ Daraus schließen wir, dass der Generator

G

$G$ der räumlichen Translation ist der Impulsoperator

P

$P$ . Daher,

T_{ϵ} = ich - \frac{ι ϵ}{ℏ} P

$T_\epsilon=I-\dfrac{\iota \epsilon}{\hbar}P$ Impulsoperator pendelt mit dem Hamiltonoperator, sofern die Translationssymmetrie gegeben ist

Die Translationssymmetrie des Systems wird in Form der Bedingung dargestellt

⟨ ψ | T_{ϵ}^{†} H T_{ϵ} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\langle\psi|T_\epsilon^\dagger H T_\epsilon|\psi\rangle=\langle\psi|H|\psi\rangle$ Daher benötigen wir

⟨ ψ | (1 + \frac{ι ϵ}{ℏ} P) H (1 - \frac{ι ϵ}{ℏ} P) | ψ ⟩ = ⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\bigg\langle\psi\bigg|\bigg(1+\dfrac{\iota \epsilon}{\hbar}P\bigg) H \bigg(1-\dfrac{\iota \epsilon}{\hbar}P\bigg)\bigg|\psi\bigg\rangle=\langle\psi|H|\psi\rangle$ Oder gleichwertig,

⟨ ψ | H | ψ ⟩ + \frac{ι ϵ}{ℏ} ⟨ ψ | [P, H] | ψ ⟩ + Ö (ϵ^{2}) = ⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\langle\psi|H|\psi\rangle+\dfrac{\iota\epsilon}{\hbar}\langle\psi |[P,H]|\psi\rangle+\mathcal{O}(\epsilon^2)=\langle\psi|H|\psi\rangle$ Somit benötigen wir

⟨ ψ | [P, H] | ψ ⟩ = 0

$\langle\psi|[P,H]|\psi\rangle=0$ Nun, das kann man so sehen

[P, H] = 0

$[P,H]=0$ mit der Tatsache, dass

ι [P, H]

$\iota[P,H]$ hermitesch ist und dann das Standardargument verwendet, dass if ein Operator ist

O

$O$ ist hermitesch und erfüllt

⟨ ψ | O | ψ ⟩ = 0

$\langle\psi|O|\psi\rangle=0$ für alle

ψ

$\psi$ dann kann gezeigt werden, dass der Operator der Nulloperator ist. Wie auch immer, dieses letzte Bit ist nicht wichtig, alles was wir brauchen ist

⟨ ψ | [P, H] | ψ ⟩ = 0

$\langle\psi|[P,H]|\psi\rangle=0$ .

Abschließend: Going Classical from Quantum unter Verwendung des Ehrenfest-Theorems

Seit wir ... Haben

⟨ ψ | [P, H] | ψ ⟩ = 0

$\langle\psi|[P,H]|\psi\rangle=0$ nach dem Satz von Ehrenfest

\frac{d}{d t} ⟨ ψ | [P, H] | ψ ⟩ = 0

$\dfrac{d}{dt}\langle\psi|[P,H]|\psi\rangle=0$ Somit haben wir gezeigt, dass der Erwartungswert des Impulsoperators zeitlich konstant ist – was bedeutet, dass der klassische Impuls erhalten bleibt (da die Erwartungswerte der hermitischen Quantenoperatoren das Verhalten der entsprechenden klassischen Observablen erfassen sollen ). Flosse.

Meine Antwort basiert auf der Diskussion von Symmetrien und Erhaltungssätzen von Principles of Quantum Mechanics, R. Shankar, $3^{rd}$ Ausgabe, Kapitel $11$ .

Quantenerklärung von Newtons drittem Bewegungsgesetz

Mohammad Al-Turkistany

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Frech

kd88

Eine Katze

Kann die Impulserhaltung verletzt werden?

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