Äquivalenz von Symmetrie und kommutierendem Einheitsoperator

1. Bevor du es beweisen kannst$[H,U]=0$Sie müssen sicherlich was definieren$H'$ist, ansonsten die Aussage$H' = H$hat keine Bedeutung.

2. Sie brauchen die Schrödinger-Gleichung jedoch nicht, um zu verstehen, warum$H' = U H U^\dagger$: Angenommen, wir haben eine Transformation$U$auf Vektoren wirken$\psi$als$\psi' = U\psi$und wir haben den Betreiber$H$Einwirken auf$\psi$. Nun wollen wir einen Operator aufschreiben$H'$das hat die gleiche Wirkung auf die Transformierten$\psi'$Das$H$hat an$\psi$. Wenn Sie darüber nachdenken, sollte das klar sein

   $$(H \psi)' = H' \psi' \qquad (\ast)$$ ist die Bedingung, nach der wir suchen, dh$U(H\psi) = H'(U\psi)$. Wenn das für alle gelten soll$\psi$, bekommen wir unbedingt $$H' = U H U^\dagger \;.$$

Hinweis: Technisch gesehen haben wir eine Transformation$U$Wirkung auf den Hilbertraum$\mathcal H$in irgendeiner Darstellung. Dies induziert immer eine eindeutige Darstellung von$U$auf dem Operatorraum von Endomorphismen$\mathrm{End}(\mathcal H) = \mathcal H^\ast \otimes \mathcal H$nach einigen allgemeinen Regeln, so dass (*) gilt. Wenn$U$handelt in der fundamentalen Darstellung$\psi' = U\psi$An$\mathcal H$dann die induzierte Darstellung$H' = UHU^\dagger$heißt adjungierte Darstellung.