Können wir einen Hamilton-Operator a†a†+aaa†a†+aaa^\dagger a^\dagger + aa verstehen?

Wenn ich einen Hamiltonian von gegeben habe

H = A † A † + A A
Wo, [ A , A † ] = 1 , Kann ich es verstehen, indem ich den Begriff des Vakuums verallgemeinere?

Wenn nicht, auf welche Art von Problemen würde ich stoßen? Gab es einen Fall, in dem solche Hamiltonianer in Betracht gezogen wurden?

Um es klar zu sagen, fragen Sie nach diesem Hamiltonian für sich allein oder als Teil eines größeren Hamiltonians mit anderen Begriffen darin?
Eigentlich ist mein Hamiltonian H = ∑ ich , J J ich , J A ich † A J † + H . C . wobei J_{i,j} eine symmetrische Konstante ist.
... ohne andere Begriffe in zB A † A überhaupt? Das wäre ziemlich überraschend und weist auf tiefe Probleme mit der Theorie hin, wie in Knzhous Antwort. Wenn diese Terme jedoch aus einem realistischen physikalischen Modell entstanden sind, werden sie auch mit begrenzten quadratischen Termen (dh A † A und dergleichen), die den Hamiltonian von der Klippe wegziehen.
Nun, ich habe versucht, ein Modell zu studieren, das von SYK und Berry-Keating inspiriert wurde H = ∑ ich < J J ich J ( X ich P J + P J X ich ) , bei der Einführung von Ladder-Operatoren bekomme ich solche Begriffe. Aber ich denke, ich sollte eine Interaktion einschalten, die mir eine geben würde H 0 = A ich † A J Art Begriff. Was denken Sie ?
Ein X P Hamiltonian ist unten so unbeschränkt wie a P 2 − X 2 eins (nur um 45 ° im Phasenraum drehen), und es ist ebenso unphysikalisch. Wenn Sie aktiv unphysikalische Hamiltonianer postulieren wollen, dann wissen Sie, was passieren wird.

Antworten (3)

Nein, der Grundzustand ist nicht wohldefiniert, weil die Energie unten unbegrenzt ist. Um dies zu sehen, wechseln Sie zurück zu den Variablen X Und P verwenden A ∼ X + ich P finden

H ∼ P 2 − X 2 .
Dies ist der Hamilton-Operator für ein Teilchen in einem Potential, das es nur weiter vom Ursprung wegschiebt, sodass Sie die Energie so negativ machen können, wie Sie möchten, und es gibt keinen Grundzustand, um den es sich ausdehnen könnte. Alternativ, wenn Sie die Schilder umdrehen und erhalten H ∼ X 2 − P 2 , erhalten Sie ein Teilchen mit negativer Masse, und wieder können Sie beliebig negative Energie erhalten, indem Sie es immer schneller machen.

Dieses Problem kann nicht durch Anwenden einer Bogoliubov-Transformation behoben werden. Diese Transformationen diagonalisieren Hamiltonianer der Form

H = A † A + a ( A A + A † A † ) .
Allerdings für ausreichend groß | a | , die Bogoliubov-Transformation existiert nicht, und sie existiert sicherlich nicht hier, wo a ist unendlich. Dieser Fehler entspricht direkt der Tatsache, dass kein Grundzustand existiert, sodass Sie keinen neuen Grundzustand definieren können | Ω ⟩ und Aufregungen darüber.

... das heißt, Hamiltonianer dieser Form sind vollkommen in Ordnung, solange sie von einem entsprechend starken normalen Begriff begleitet werden, z. B. der Form ω A † A .

Dieser Hamilton-Operator ist typisch für parametrische Down-Conversion-Prozesse, bei denen ein starkes Feld (normalerweise ein kohärenter Zustand, parametrisiert durch a ) interagiert mit einem Medium, um zwei Photonen zu erzeugen A † A † . Die Hamiltonianer haben die etwas allgemeinere Form

H ∼ a ∗ A ^ A ^ + a A ^ † A ^ † .
In Ihrem speziellen Fall wären die Photonen entartet (identische Frequenzen). Siehe als Beispiel Gl.(23.12) dieser Vorlesungen . Dies wird in vielen Lehrbüchern der Quantenoptik behandelt.

Dieser Hamilton-Operator wird verwendet, um gequetschte Zustände gemäß Gleichung (17) dieses Papiers zu erzeugen (man kann die Phase zwischen den Termen anpassen, um zu sein − 1 wenn nötig).

Beachten Sie schließlich, dass die Operatoren

K + = 1 2 A ^ † A † , K − = 1 2 A ^ A ^ , K 0 = 1 2 ( A ^ † A ^ + A ^ A ^ † )
Spanne die Lie-Algebra auf S u ( 1 , 1 ) Ihr Hamiltonian ist also im Grunde der "Boost" K X . Ich erinnere mich nicht an die Eigenzustände von K X als diskret, aber Google konnte keinen nützlichen Link finden und ich könnte mich irren.

Die Aktion von H ∼ K X (oder seine Exponentialfunktion, wenn Sie eine Zeitentwicklung benötigen) ist für harmonische Oszillatorzustände perfekt definiert und in Begriffen ausdrückbar S U ( 1 , 1 ) Gruppenfunktionen, die von Ui dieser Arbeit gegeben werden

Es ist jedoch wichtig anzumerken, dass bei Anwendung auf SPDC dieser Hamiltonian eine Annäherung ist, bei der angenommen wurde, dass sich der Hintergrundpumplaser in der klassischen Grenze eines intensiven kohärenten Zustands befindet.
@EmilioPisanty In der Tat! Wenn Sie die Erschöpfung der Pumpe einbeziehen, ist der Hamiltonian in den Operatoren kubisch und Sie sind ohne Paddel den sprichwörtlichen Bach hinauf.

Ich glaube nicht, dass Sie eine richtige Vorstellung von einer Grundzustandsenergie haben. Normalerweise bevorzugen wir etwas wie A † A weil wir einen formalen Begriff von haben können ⟨ 0 | A † A | 0 ⟩ . Also selbst wenn Sie Ihre Definition ändern, was die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren bewirken | 0 ⟩ , Sie sollten keine neue Physik daraus ziehen. Wenn dies irgendwo in der Physik auftaucht, wäre es jedoch interessant.

Können wir einen Hamilton-Operator a†a†+aaa†a†+aaa^\dagger a^\dagger + aa verstehen?
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