Was versteht man unter unitärer Zeitentwicklung?

Ja, es gibt einen Unterschied. Einheitliche Zeitentwicklung ist die spezifische Art der Zeitentwicklung, bei der die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt. In der Quantenmechanik beschäftigt man sich typischerweise mit der einheitlichen Zeitentwicklung.

Angenommen, Sie haben einen Zustand (zur Zeit$t=0$) gegeben von$|\alpha \rangle$. Um den Zustand zu einem späteren Zeitpunkt zu finden$t=T$gegeben von$|\alpha (T) \rangle$, wenden wir den (unitären) Zeitentwicklungsoperator an$U$:

$$U|\alpha \rangle = |\alpha (T) \rangle$$

Wo

$$U = e^{-iHT}$$

Und$H=$Hamiltonian des Systems, das hermitesch ist.

Wahrscheinlichkeitserhaltung bedeutet mathematisch:

$$\langle \alpha|\alpha \rangle = \langle \alpha (T)|\alpha (T) \rangle$$

Physikalisch bedeutet es, dass die Existenzwahrscheinlichkeit des Quantensystems zunächst durch den Zustand beschrieben wird$|\alpha \rangle$und später durch$|\alpha (T) \rangle$, ändert sich nicht mit der Zeit. Das Quantensystem existiert bei$t=0$mit Wahrscheinlichkeit$=1$, und auch bei$t=T$mit Wahrscheinlichkeit$=1$. Der Zustand entwickelt sich mit der Zeit aus$t=0$Zu$t=T$, aber während dieses Zeitintervalls dringen keine Informationen über das Quantensystem nach außen. Das System, das bei existierte$t=0$in seiner Gesamtheit weiter besteht später an$t=T$. Dies ist physikalisch sinnvoll von einer Theorie zu fordern, da Informationen über einen Zustand während der Evolution nicht verloren gehen sollten. Sicher, die Informationen könnten sich im Laufe der Zeit verheddern, aber im Prinzip sollten alle noch vorhanden sein. Wenn Sie beispielsweise ein Buch mit Kohle verbrennen, gehen die Informationen im Buch für alle praktischen Zwecke verloren. Aber alle Informationen sind im Prinzip immer noch vorhanden , verschlüsselt in den Korrelationen zwischen Kohle- und Aschepartikeln.

Manchmal ist es einfacher/nützlicher, bestimmte Phänomene zu erklären, indem man die einheitliche Zeitentwicklung aufgibt, zum Beispiel bei instabilen Teilchen oder radioaktivem Zerfall. Dort zerfällt der Mutterstaat im Laufe der Zeit in Tochterstaaten. Wenn Sie nur das Subsystem des Mutterzustands beobachten , unterliegt es keiner einheitlichen Zeitentwicklung, da es im Laufe der Zeit Informationen über seinen Zustand verliert. Die Informationen gehen für die untergeordneten Zustandssubsysteme verloren. Die Wahrscheinlichkeit (dass der Mutterzustand existiert) wird nicht konserviert; sie nimmt mit der Zeit (exponentiell) ab. Betrachtet man das Gesamtsystem als Ganzes, verläuft die Evolution erwartungsgemäß einheitlich. Aber bei der Radioaktivität müssen wir oft nur wissen, wie das Subsystem des Mutterstaates funktioniertzerfällt.

Ja, es gibt einen Unterschied zwischen Zeitentwicklung und einheitlicher Zeitentwicklung. Nicht-einheitliche Evolution ergibt sich aus einem Subsystem.

Betrachten Sie eine statistische Mischung aus reinen Systemen, dh nehmen Sie an, dass es ein Ensemble von Systemen gibt, so dass ein Bruchteil$p_1$ist im Zustand$|1>$,$p_2$sind im Zustand$|2>$, usw. Dann lässt sich das gesamte statistische Ensemble durch eine sogenannte Dichtematrix beschreiben,$\rho = \sum_i |i><i|$. Wir können die Entwicklung dieses Dichteoperators betrachten, der oft als sogenannte Liouville-Gleichung geschrieben wird$\frac{d\rho}{dt}=\mathcal{L}\rho$. Hier$\mathcal{L}$ist der "Liouvillian", ein Operator, der übergeht$\rho$in der Zeit viel wie$U$übergeht den reinen Zustand rechtzeitig in einen reinen Zustand.

Wenn die Dynamik von einem Hamilton-Operator bestimmt wird, dann ist der Liouvillian (der "Propagator" des Zustands) einfach seine Kommutierungsbeziehung mit dem Zustand,$\mathcal{L}=-i/\hbar (H\rho-\rho H)$. Dies entspricht der Standard-Hamiltonschen Evolution und ist einheitlich.

Betrachten Sie jedoch nur ein Teilsystem des erweiterten Systems. Der Zustand eines solchen Subsystems kann durch einen "reduzierten" Dichteoperator beschrieben werden, der eigentlich nur ein Dichteoperator (Matrix) ist, der nur das Subsystem beschreibt. Obwohl die Entwicklung des erweiterten Systems einheitlich ist und einem Hamilton-Operator folgt, folgt die Entwicklung der Dichte des Subsystems im Allgemeinen keinem Hamilton-Operator und ist nicht einheitlich. Stattdessen ist es oft "dissipativ". Beispielsweise könnte das Subsystem Energie an die Umgebung abgeben und in einen thermischen Zustand abkühlen.

Es gibt keine allgemeine einfache Form für den Liouvillian (den Propagator) für Subsysteme. Ein relativ einfacher Fall liegt vor, wenn sich das Subsystem auf eine Markov-Weise entwickelt, was häufig bei thermisch äquilibrierenden Systemen der Fall ist. Dann hat der Liouvillian einen einheitlichen Begriff, der genau wie oben von einem Hamiltonian angetrieben wird, aber auch eine Korrektur: einen nicht-hamiltonischen Begriff, einen Begriff, der einer speziellen Form namens "Lindblad-Form" folgt und nicht der Kommutierung mit dem geschriebenen Zustand über.

Also - nicht-einheitliche Evolution ist eigentlich überall. Wann immer Sie die Wechselwirkungen mit der Umgebung nicht vernachlässigen können, so dass Sie sich zB thermisch mit ihr äquilibrieren, haben Sie eine nicht-einheitliche Evolution (es gibt ein paar Vorbehalte, aber es ist fast immer wahr). Schwierig ist es, eine einheitliche Evolution in Gang zu bringen. Sie müssen Ihr System ausreichend von der Umgebung isolieren, um Thermalisierung usw. vernachlässigen zu können.

Der vielleicht größte Unterschied zwischen diesen beiden Arten von Evolution besteht darin, dass nicht-einheitliche Evolution (im Allgemeinen) nicht umkehrbar ist. So kommt es zur Thermalisierung. Auch nicht-einheitliche Dynamiken können die Populationen verändern, was zum Beispiel eine Abnahme hochenergetischer Zustände widerspiegelt, wenn das System auf seinen Grundzustand abkühlt.

Die Quantenmechanik ist eine probabilistische Theorie, und alle Wahrscheinlichkeiten müssen sich immer zu 1 addieren. Dies schränkt die Theorie ein; Da sich der Zustand des Systems mit der Zeit entwickelt, muss die Gesamtwahrscheinlichkeit konstant bleiben.

Wenn wir den Zustand des Systems zur Zeit bezeichnen$t$als$|\psi(t)\rangle$dann können wir den Zeitentwicklungsoperator definieren$U(t^\prime)$als Betreiber von

$$U(t^\prime)|\psi(t)\rangle = |\psi(t+t^\prime)\rangle$$ so dass es einen Zustand zur Zeit annimmt$t$und gibt uns den Zustand eine Zeit$t^\prime$später. Nun sagt uns die Forderung, dass die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt

$$\begin{align} \langle \psi(t) | \psi(t)\rangle &= \langle \psi(t+t^\prime) | \psi(t+t^\prime)\rangle \\ &= \langle \psi(t) |U(t^\prime)^\dagger U(t^\prime)| \psi(t)\rangle \end{align}$$ für alle Staaten$| \psi(t)\rangle$. Dies impliziert das $$U(t^\prime)^\dagger U(t^\prime) = 1$$ was das impliziert$U(t)$ist ein unitärer Operator.

Folglich ist diese Art der Zeitentwicklung als einheitliche Zeitentwicklung bekannt. Dies hat viele wichtige Ergebnisse für das, was möglich ist, wenn sich ein Quantenzustand über die Zeit entwickelt, wie z. B. das No-Cloning-Theorem