Warum können sich zwei verschiedene Quantenzustände nicht in denselben Endzustand entwickeln?

Stimmt es, dass sich zwei verschiedene Zustände nicht in denselben Endzustand entwickeln können?

Das kommt darauf an, was Sie genau meinen. Betrachten wir den Gesamtzustand eines abgeschlossenen Systems, so werden sich zwei verschiedene Zustände zu keinem späteren Zeitpunkt gleichzeitig in denselben Zustand entwickeln. Sie haben vielleicht gelernt, dass sich Quantenzustände mit einer einheitlichen Transformation entwickeln, dh

$$\lvert \Psi(t) \rangle = U(t) \lvert \Psi(0) \rangle$$ wo$U(t)$ist einheitlich, was bedeutet, dass$U(t)^\dagger = U(t)^{-1}$. In dem Fall, $$\begin{align} \langle \Phi(t)|\Psi(t) \rangle &= \langle U(t) \Phi(0) | U(t) \Psi(0) \rangle \\ \text{(definition of Heritian conjugate)} \quad &= \langle \Phi(0) | U(t)^\dagger U(t) | \Psi (0) \rangle \\ \text{(unitarity)} \quad &= \langle \Phi(0) | U(t)^{-1} U(t) | \Psi (0) \rangle \\ &= \langle \Phi(0) | \Psi (0) \rangle \, . \end{align}$$ Sie können also sehen, dass sich das Skalarprodukt zwischen zwei Zuständen im Laufe der Zeit nicht ändert. Zwei Zustände, die gleich sind, haben ein inneres Produkt von 1, aber Zustände, die nicht gleich sind, haben ein inneres Produkt ungleich 1. Daher können zwei Zustände, die anfänglich nicht gleich sind, später unter einheitlicher Evolution nicht gleich werden.

Wenn wir andererseits die Messung zulassen, ist es möglich, dass zwei anfänglich unterschiedliche Zustände am Ende gleich sind. Zum Beispiel, wenn wir ein zweistufiges System haben, das mit Zustand beginnt$(\lvert 0 \rangle + e^{i \phi} \lvert 1 \rangle)/\sqrt 2$für jeden Wert von$\phi$, es könnte zusammenbrechen$\lvert 0 \rangle$nach einer Messung. Beachten Sie jedoch, dass in diesem Fall Zufälligkeit vorliegt, dh wir können keine Situation schaffen, in der sich zwei anfänglich unterschiedliche Zustände deterministisch zu demselben Endzustand entwickeln. Wenn Sie das könnten , bin ich mir ziemlich sicher, dass Sie die Zukunft kontrollieren, schneller als das Licht kommunizieren und das gesamte Universum zerstören könnten.

Können sie diesen Zustand zu unterschiedlichen Zeiten erreichen?

Ja sicher. Betrachten Sie ein Zwei-Niveau-System mit Hamiltonian

$$H = \hbar \frac{\omega}{2} \sigma_x \, .$$ Der Propagator für dieses System ist $$U(t) = \cos(\omega t / 2) \mathbb{I} - i \sin(\omega t / 2) \sigma_x = \left( \begin{array}{cc} \cos(\omega t / 2) && -i \sin(\omega t / 2) \\ -i \sin(\omega t / 2) && \cos(\omega t / 2) \end{array} \right)$$ wo$\mathbb{I}$bedeutet die Identität. Wenn wir mit dem Zustand beginnen$\lvert 0 \rangle$, dann der Zustand zu der Zeit$t$ist $$U(t) \lvert 0 \rangle = \cos(\omega t / 2) \lvert 0 \rangle - i \sin(\omega t / 2) \lvert 1 \rangle$$ Ebenso, wenn wir damit angefangen hätten$i \lvert 1 \rangle$, würden wir bekommen $$U(t) i \lvert 1 \rangle = \sin(\omega t / 2) \lvert 0 \rangle + i \cos(\omega t / 2) \lvert 1 \rangle \, .$$ Betrachten Sie nun zwei bestimmte Zeiten: $$U(t = \pi / 2 \omega) \lvert 0 \rangle = \cos(\pi / 4) \lvert 0 \rangle - i \sin(\pi / 4) \lvert 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(\lvert 0 \rangle - i \lvert 1 \rangle)$$ und $$U(t = 3 \pi / 2 \omega) i \lvert 1 \rangle = \sin(3\pi/4)\lvert 0 \rangle + i \cos(3 \pi / 4) \lvert 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(\lvert 0 \rangle - i \lvert 1 \rangle) \, .$$ Wir können also sehen, dass sich zwei anfänglich unterschiedliche Zustände zu demselben Zustand entwickeln, aber zu unterschiedlichen Zeiten.

Lassen$\Psi$und$\Phi$zwei Zustände sein, die sich nach einiger Zeit in denselben Zustand entwickeln$t$. Zeitentwicklung nach der Zeit$t$ist durch einen unitären Operator gegeben$U(t)$. Das bedeutet insbesondere$U(t)$ist invertierbar, also haben wir$U(t)^{-1}U(t) = 1$. Nun haben wir das angenommen$U(t)\Psi = U(t)\Phi$. Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung mit$U(t)^{-1}$von links erhalten wir$\Psi = \Phi$. Wenn sich also zwei Zustände nach einiger Zeit in den gleichen Zustand entwickeln$t$, sie waren von Anfang an gleich.

Die Zeitentwicklung hat außerdem die Eigenschaft, dass$U(t)U(s) = U(t+s)$. Lassen$t\neq 0$. Nehmen wir nun an, wir haben einen Zustand$\Phi$mit der Eigenschaft, dass$U(s)\Phi \neq \Phi$. Satz$\Psi = U(s)\Phi$. Wir bekommen dann

$$\begin{equation} U(t)\Psi = U(t)(U(s)\Phi) = U(t+s)\Phi. \end{equation}$$ Wir haben dann die Zustände$\Psi$und$\Phi$, (die unterschiedlich sind), entwickeln sich in denselben Zustand$U(t+s)\Phi$, aber nach unterschiedlichen Zeiten.

Tatsächlich ist dies der einzige Weg, wie dies geschehen kann. Das heißt, wenn es zwei verschiedene Zustände gibt$\Phi \neq \Psi$so dass$U(t)\Phi = U(t')\Psi$, dann gibt es eine Zeit$s$so dass$\Psi = U(s) \Phi$. Vielleicht ist es eine gute Übung, einen Beweis für diese Behauptung zu finden.

Abgesehen vom Zusammenbruch der Wellenfunktion entwickeln sich Wellenfunktionen deterministisch, und dieser Determinismus geht zeitlich in beide Richtungen. Also wenn du nimmst$\Psi$und$\Phi$so dass es welche gibt$t_0$wofür$\Psi(t_0)=\Phi(t_0)$, dann haben Sie, solange sie sich unter derselben Transformation entwickeln$\Psi(t)=\Phi(t)$für alle$t$. Daher können sich weder zwei Wellenfunktionen, die zu einem Zeitpunkt gleich sind, zu einem anderen Zeitpunkt zu unterschiedlichen Wellenfunktionen entwickeln, noch können sich zwei zu einem Zeitpunkt unterschiedliche Wellenfunktionen zu einem anderen Zeitpunkt zu derselben Wellenfunktion entwickeln.

Ein Zustand kann sich zu dem entwickeln, was ein anderer Zustand zu einer anderen Zeit war, dh$\Psi(t_1)=\Phi(t_2)$. Aber wenn sie sich unter einer zeitkonstanten Transformation entwickeln, dann wenn wir definieren$\Delta t= t_2-t_1$, dann$\Psi(t)=\Phi(t+\Delta t)$für alle$t$; die beiden Zustände sind einfach zeitversetzte Versionen voneinander.

$\def\ket#1{|#1\rangle}$Einfacher. Zur ersten Frage: let$\ket{a,0}$sei ein Zustandsvektor zum Zeitpunkt 0,$\ket{a,t}$derselbe Zustand entwickelte sich zu der Zeit$t$.

Anmerkung 1: Schrödinger-Bild wird verwendet, wo sich Zustände mit der Zeit entwickeln, Observables nicht.

Anmerkung 2: Ich verwende eine etwas andere Ket-Notation. Ich schreibe keine Dinge wie$\ket{\Psi(t)}$weil ich denke, dass dies eine Fehlinterpretation von Diracs Notation ist.

Wir haben

$$\ket{a,t} = U(t)\,\ket{a,0}$$ wo$U(t)$ist einheitlich. Nehmen Sie jetzt an, dass ein anderer$\ket{b,0}$existiert, so dass auch $$\ket{a,t} = U(t)\,\ket{b,0}.$$ Dann $$\ket{b,0} = U^{-1}(t)\,\ket{a,t} = U^{-1}(t)\,U(t)\,\ket{a,0} = \ket{a,0}.$$

Nun zur zweiten Frage. Du fragst ob

$$\ket{a,t} = \ket{b,t'} \tag1$$ passieren könnte, z$t'\ne t$. Erweitern wir Gl. (1), verwenden$U$: $$U(t)\,\ket{a,0} = U(t')\,\ket{b,0}$$ $$\ket{b,0} = U^{-1}(t')\,U(t)\,\ket{a,0} = U(-t')\,U(t)\,\ket{a,0} = U(t-t')\,\ket{a,0}.$$ Dies ist die Bedingung$\ket{a,0}$und$\ket{b,0}$gehorchen sollen, damit$\ket{a,t}$und$\ket{b,t'}$gleich sein.