Beweis der Normalisierung der Wellenfunktion

Standardbehandlungen der Quantenmechanik beginnen mit der Annahme der Schrödinger-Gleichung, aber es ist besser, es umgekehrt zu machen. Ausgehend von der Wahrscheinlichkeitsinterpretation gibt es viel tiefergehende mathematische Argumente, die in Lehrbüchern leider meist weggelassen werden. Beginnend mit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation normalisieren wir natürlich die Wellenfunktion. Wir zeigen dann, dass die Beibehaltung der Wahrscheinlichkeitsinterpretation Einheitlichkeit erfordert. Dann können wir mit Stones Theorem die Schrödinger-Gleichung beweisen und zeigen, dass es sich tatsächlich um ein Theorem und nicht um ein Postulat handelt. Ich habe in meinem Buch The Mathematics of Gravity and Quanta folgende Herleitung gegeben . Es gilt eher für grundlegende Verhaltensweisen in der relativistischen Quantenmechanik als für bestimmte Systeme.

Wenn zur Zeit$t_0$der ket ist$|f(t_0) \rangle$, dann das Ket zur Zeit$t$ist durch den Evolutionsoperator gegeben,$U(t,t_0):\mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H}$(dies ist nicht spezifisch für einen Partikel-Hilbert-Raum), so dass

$$|f(t) \rangle = U(t,t_0)|f(t_0) \rangle.$$ Es wird erwartet, dass die Entwicklung von Kets kontinuierlich ist, da Kets keine physikalischen Zustände der Materie sind, sondern probabilistische Aussagen darüber, was bei der Messung angesichts aktueller Informationen passieren könnte. Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf unsere Vorstellungen über die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen (dies ist ein grundlegendes Prinzip einer modernen Bayes'schen Interpretation der Wahrscheinlichkeitstheorie). Unabhängig davon, ob die Realität grundsätzlich diskret ist oder nicht, wird die Wahrscheinlichkeit richtig auf einem mathematischen Kontinuum beschrieben (in dem Sinne, dass ein Kontinuum bedeutet, dass Positionsmessungen so genau sind, dass Diskretion keine praktischen Auswirkungen auf Vorhersagen hat). Eine diskrete Interaktion führt nicht zu einer diskreten Änderung der Wahrscheinlichkeit, da wir keine genauen Informationen darüber haben, wann die Interaktion stattfindet. Dies ist so,$U$wird als stetige Funktion der Zeit erwartet.

Wenn das ket zur Zeit$t_0$war entweder$|f(t_0) \rangle$oder$|g(t_0) \rangle$, dann wird es sich zu einem von beiden entwickeln$|f(t) \rangle$oder$|g(t) \rangle$zum Zeitpunkt$t$. In Ermangelung weiterer Informationen wird jede Gewichtung in ODER beibehalten (Überlagerung wird in einer vielwertigen Logik richtig als ODER interpretiert). So,$U$ist linear,

$$U(t,t_0)[a|f(t_0)\rangle + b|f(t_0)\rangle]= aU(t,t_0)|f(t_0)\rangle + bU(t,t_0)|f(t_0)\rangle .$$ Da lokale Gesetze der Physik immer gleich sind, und$U$hängt nicht von dem Ket ab, auf das es wirkt, die Form des Evolutionsoperators für eine Zeitspanne$t$, $$U(t) = U(t+t_0,t_0)$$ hängt nicht davon ab$t_0$. Wir verlangen, dass die Entwicklung in einer Spanne$t_1 + t_2$ist die gleiche wie die Entwicklung in$t_1$gefolgt von der Entwicklung in$t_2$, und ist auch gleich der Entwicklung in$t_2$gefolgt von der Entwicklung in$t_1$, $$U(t_2)U(t_1) = U(t_2 + t_1) = U(t_1)U(t_2) .$$ Negativ verwenden$t$kehrt die Zeitentwicklung um (put$t=t_1=-t_2$) $$U(-t) = U(t)^{-1} .$$ In der Nullzeitspanne gibt es keine Evolution, $$U(0)=1 .$$

Das Ergebnis der Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Messergebnisses$g$zum Zeitpunkt$t_2$eine Anfangsbedingung gegeben$f$zum Zeitpunkt$t_1$wird nicht von der Zeit beeinflusst, zu der sie berechnet wird (Parameter Zeit für Hilbert-Raum). Da Kets zur Normalisierung ausgewählt werden können, kann dies erforderlich sein$U$konserviert die Norm, dh für alle$|g\rangle$,

$$\langle g |U^\dagger U |g\rangle = \langle g|g \rangle .$$ Wenden Sie dies an$|g\rangle + |f\rangle$, $$( \langle g| + \langle f | )U^\dagger U (|g\rangle + |f\rangle)= ( \langle g| + \langle f | )(|g\rangle + |f\rangle)$$

Durch die Linearität von$U$,

$$( \langle g|U^\dagger + \langle f |U^\dagger ) (U|g\rangle + U|f\rangle)= ( \langle g| + \langle f | )(|g\rangle + |f\rangle) .$$ Durch Linearität des Skalarprodukts können wir die Klammern ausmultiplizieren. Nach Kündigung gleiche Bedingungen $$\langle g| U^\dagger U |f\rangle + \langle f| U^\dagger U |g\rangle = \langle g |f\rangle + \langle f| g \rangle .$$ In ähnlicher Weise wendet man das Argument auf an$|g\rangle + i|f\rangle>$ $$\langle g| U^\dagger U |f\rangle - \langle f| U^\dagger U |g\rangle = \langle g |f\rangle - \langle f| g \rangle .$$

Das Hinzufügen zeigt das für alle$|g\rangle, |f\rangle$

$$\langle g| U^\dagger U |f\rangle = \langle g| f \rangle .$$ Dh$U$ist einheitlich.

Damit sind die Bedingungen für den Satz von Stone geschaffen. In dem Buch gebe ich einen Beweis des Satzes von Stone und finde die Schrödinger-Gleichung als einfache Folgerung.