Ist dieser Beweis für Griffith wasserdicht? [Duplikat]

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Ist dieser Beweis für Griffith wasserdicht? [Duplikat]

Verloren

Auf den einleitenden Seiten von Griffiths Buch über Quantenmechanik sagt er:

Aber Moment mal! Angenommen, ich habe die Wellenfunktion zur Zeit normalisiert $t=0$ . Woher weiß ich, dass es im Laufe der Zeit normal bleiben wird und $\Psi$ entwickelt sich?

Das zeigt er dann weiter

(1) \frac{D}{D T} (\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, T) |^{2} D X) = 0

$(1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d}{dt}\ (\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx)=0$

Aus $(1)$ , argumentiert er, dass wenn

\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, T = 0) |^{2} D X = 1

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t=0)|^2 dx=1$ Dann,

\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, T) |^{2} D X = 1

$\ \ \ \ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx=1$

Also im Grunde, um das zu beweisen $\Psi(x,t)$ normalisiert ist er verwendet $(1)$ sondern um es zu beweisen $(1)$ er schränkt ein $\Psi(x,t)$ normalisiert werden, indem man sagt,

\frac{D}{D T} (\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, T) |^{2} D X) = \frac{ich ℏ}{2 M} | (Ψ^{*} \frac{\partial Ψ (X, T)}{\partial X} - Ψ \frac{\partial Ψ^{*} (X, T)}{\partial X}) |_{- \infty}^{\infty} = 0

$\frac{d}{dt}\ (\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx)=\frac{i\hbar}{2m}\bigg|\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^*(x,t)}{\partial x}\bigg)\bigg|_{-\infty}^{\infty}=0$
Für die obige Gleichheit argumentiert er:

Aber $\Psi(x,t)$ muss gegen Null gehen, wenn x gegen ( $+$ oder $-$ ) unendlich - sonst wäre die Wellenfunktion nicht normierbar.

Das Aufschreiben der gesamten exakten Ableitung ist zeitaufwändig, daher habe ich stattdessen die Hauptanliegen oben zusammengefasst und hier unten ein klares, sichtbares Bild seines Beweises angehängt:

Ich habe Probleme mit der Begründung von [1.26].

Mir scheint, dass dies ein Zirkelbeweis ist, um das zu erzwingen $\Psi(x,t)$ (das ist die Wellenfunktion zu einem beliebigen Zeitpunkt ) muss als Null gehen $x$ geht ins Unendliche müssen wir davon ausgehen $\Psi(x,t)$ normalisiert werden müssen, was wir zu beweisen versuchen!

Ist dieser Beweis lose oder übersehe / missverstehe ich etwas Offensichtliches?

ACuriousMind

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ACuriousMind

Siehe physical.stackexchange.com/q/382324/50583 für Diskussionen über die Vorstellung, dass „Wellenfunktionen im Unendlichen verschwinden müssen“

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Sonneneruption0 · Answer 1

Das sagt er nicht $\Psi(x, t)$ muss normalisiert werden; er sagt, es muss normalisierbar sein , was bedeutet, dass

\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, T) |^{2} D T < \infty .

$\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x, t)|^2\text{d}t < \infty.$

Es ist leicht zu sehen, warum $\Psi(x, t)$ muss normalisierbar sein. Es wird angenommen, dass die Wellenfunktion bei normalisiert ist $t = 0$ , und da sich die Wellenfunktion kontinuierlich durch die Schrödinger-Gleichung entwickelt, folgt daraus, dass die Wellenfunktion für alle eine endliche Norm haben muss $t > 0$ , was definitionsgemäß bedeutet, dass die obige Gleichung gilt. Aufgrund der Normalisierbarkeit argumentiert Griffiths, dass die Wellenfunktion im Unendlichen verschwinden sollte (obwohl Wellenfunktionen, wie in den Kommentaren zu Ihrer Frage erwähnt, nicht unbedingt im Unendlichen verschwinden müssen, um normalisierbar zu sein).

Von "die Wellenfunktion verschwindet im Unendlichen" argumentiert er, dass sie normalisiert , nicht normalisierbar ist.
Kontinuität reicht nicht aus, um sicherzustellen, dass eine normierbare Wellenfunktion so bleibt. Betrachten Sie die mutmaßliche Wellenfunktion $\psi(x,t) \propto (1 + (\kappa x)^2)^{t/T}$ . Dies ist bis zur Zeit normalisierbar $t = T/4$ hört dann aber auf. Griffiths' Beweis ist nicht ganz wasserdicht.
@tparker Soweit ich sehen kann, gibt es hier zwei Dinge: (1) Normalisierbarkeit : D..J. beginnt mit einer normierbaren Wellenfunktion und setzt dies auch für alle späteren Zeiten voraus. ..(2) Normalisiert oder nicht? : DJ beginnt mit einer normalisierten Wellenfunktion und zeigt mit (1), dass sie für alle späteren Zeiten normalisiert bleibt.
@tparker Anscheinend widersprechen Sie der Annahme in (1). Meine Frage war einfach ein dummes Übersehen von Worten, die hier zufriedenstellend beantwortet wurden, aber jetzt stellt sich aus Ihrem Kommentar heraus, dass DJ tatsächlich eine ungerechtfertigte Annahme verwendet. Vielen Dank für den Hinweis.
@tparker Ich würde vermuten, dass wir beim QM im Allgemeinen selten auf Wellenfunktionen der von Ihnen erwähnten Art stoßen (?), Aber erlaubt der Formalismus des QM solche Wellenfunktionen?
@tparker Wenn wir Borns statistische Interpretation der Wellenfunktion betrachten, ist es notwendig, dass die Wellenfunktion normalisierbar ist.
@Lost Ja, wie Sie sagen, Griffiths beweist, dass, wenn die Wellenfunktion über die Zeit normalisierbar bleibt , sie auch normalisiert bleibt . Aber er beweist nicht wirklich, dass es über die Zeit normalisierbar bleibt.
@Lost Aber es stellt sich heraus, dass dies immer der Fall ist, sodass die Wellenfunktion tatsächlich immer normalisiert bleibt. Der technische Grund dafür, der für jemanden, der gerade erst in die QM einsteigt, leider etwas zu fortgeschritten sein könnte, ist die Tatsache, dass der Hamilton-Operator ein hermitescher Operator ist. Diese Tatsache und die Schrödinger-Gleichung implizieren zusammen, dass der Zeitentwicklungsoperator einheitlich ist, was bedeutet, dass die Zustände über die Zeit normalisiert bleiben. Sie können dies eigentlich nur anhand der Tatsache beweisen, dass der Hamilton-Operator ein hermitescher Operator ist, der keine Details über seine spezielle Form annimmt. Aber dieses
erfordert etwas abstrakte Konzepte wie den State-Vector-Formalismus der QM. Es ist nicht allzu schwer, erfordert ein wenig Einrichtung, die Sie wahrscheinlich bald erreichen werden, wenn Sie dies noch nicht getan haben.
@tparker Danke. Ich habe über die von Ihnen erwähnte Ableitung gelesen und es ist jetzt klar, wie der Zustand aufgrund von SE und Hermitizität des Hamiltonian normalisiert bleibt. Eine Sache, die ich klären wollte, war: Was ist jetzt mit der Normalisierbarkeit ? Und die von Ihnen erwähnte Wellenfunktion ... ist es eine zulässige Wellenfunktion in QM? Es hört eindeutig auf, ein Teil davon zu sein $L_2$ nach einer gewissen Zeit, wie Sie erwähnt haben.

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