Warum müssen Wellenfunktionen im Unendlichen verschwinden?

Tatsächlich ist es nichts als eine vage und streng genommen falsche Anforderung, die in einigen physikalisch denkenden Büchern (auch auf sehr gutem Niveau) zu finden ist.

Es gibt jedoch physikalische Situationen, in denen die Regelmäßigkeit der verwendeten Funktionen impliziert, dass sie im Unendlichen verschwinden müssen. Wenn man die stationäre Schrödinger-Gleichung löst und das Potential hinreichend regulär ist, müssen die Eigenvektoren aufgrund bekannter Sätze (insbesondere aufgrund von Weyl) über elliptische Regularität entsprechend regulär sein . In einigen Fällen Regelmäßigkeit plus die Anforderung, zu der die Funktion gehört$L^2$und eine gewisse Kontrolle des asymptotischen Werts einiger Ableitungen (die sich aus einer schönen asymptotischen Form des Potentials ergeben) impliziert, dass die Wellenfunktion im Unendlichen verschwinden muss.

Andererseits ist es aus physikalischer Sicht unmöglich, einen Zustand im Raum vorzubereiten, der beliebig weit entfernt von einer gegebenen Position arbeitet, an der physikalische Instrumente lokalisiert sind. Es ist daher vernünftig anzunehmen, dass physikalisch realisierbare Zustände durch Wellenfunktionen beschrieben werden, die außerhalb eines ausreichend großen räumlichen Bereichs verschwinden. Dies wiederum impliziert eine entsprechende Anforderung an physikalisch zugängliche Observablen und deren realistische Realisierung (es ist nicht sinnvoll anzunehmen, das Universum mit Detektoren auszufüllen). Dies sind jedoch physikalische Voraussetzungen , die nicht mit mathematischen Einschränkungen verwechselt werden sollten .

Aus rein mathematischer Sicht gilt stattdessen keine Forderung nach einem schnellen Zerfall im Unendlichen für vawe-Funktionen in$L^2$(Es ist einfach, glatt zu konstruieren$L^2(\mathbb R)$funktioniert mit immer größeren Schwingungen wie$x\to \infty$und entsprechende stark unphysikalische Hamilton-Operatoren, deren Monster Eigenfunktionen sind). Es gilt auch keine starke Regularitätsbedingung. Tatsächlich sind diese Funktionen bis zu Nullmaßmengen definiert, und alle Operatoren, die Observablen darstellen, sind, um richtig selbstadjungiert (nicht einfach hermitesch) zu sein, die Schließung von Differentialoperatoren, deren Enddomänen daher Sobolev-ähnliche Räume sind: Ableitungen sind erforderlich höchstens im schwachen Sinne vorhanden.

Die einzigen Ausnahmen sind wahrscheinlich Eigenfunktionen von Hamilton-Operatoren mit ausreichend regelmäßigen Potentialen, bei denen sowohl Sobolevs Regularitätsergebnisse als auch elliptische Regularitätsergebnisse angewendet werden können und außerhalb von Singularitäten des Potentials Eigenfunktionen sind$C^2$(oder sogar glatt) im eigentlichen Sinne.

Die Beschränkung auf den Schwartz-Raum kann sinnvoll sein, weil die meisten Operatoren Selbstadjunganzdomänen haben, einschließlich dieses Raums (der manchmal auch ein Kern der Operatoren ist) und auch weil der Schwartz-Raum dicht ist$L^2$.

Allerdings erweist es sich auch in einigen elementaren Fällen als zu starke Einschränkung. Stellen Sie sich einen 1D-Hamilton-Operator mit einem Potential mit einer leichten Diskontinuität vor. Eigenfunktionen vom Schwartz-Typ werden nicht zugelassen.

Beispiel .

Ich konstruiere hier ein wahres Monster ohne physikalische Bedeutung, aber erlaubt durch mathematische Anforderungen der QM.

Betrachten Sie eine Funktion$\psi \in L^2(\mathbb R)$so aufgebaut. Es erreicht den Wert$0$überall außer für jedes Intervall

$$I_n= \left(n -\frac{1}{2(n^4+1)^{2}},\:\: n+ \frac{1}{2(n^4+1)^{2}}\right)$$ also von Länge$(n^4+1)^{-2}$und auf jeden zentriert$n\in \mathbb Z$. In diesen Intervallen $$\psi(x) = n^2 \quad x\in I_n\:.$$ Es ist klar, dass$\int_{\mathbb R} |\psi(x)|^2 dx$für einige konstant$C>0$erfüllt $$\int_{\mathbb R} |\psi(x)|^2 dx \leq C \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^4}{(n^4+1)^2} <+\infty\:.$$ Es ist klar, dass diese Funktion mit immer größerer Schwingung oszilliert$|x|\to +\infty$, aber diese Schwingungen werden schärfer und schärfer.

Als nächstes modifizieren Sie sanft$\psi$in jedem Intervall$I_n$um eine glatte nichtnegative Funktion zu erzeugen$0\leq \phi(x) \leq \psi(x)$mit$\phi(n)=\psi(n)$wodurch die Endlichkeit des Integrals von erhalten bleibt$|\phi|^2$.

Endlich definieren

$$\Psi(x) := \phi(x) + \frac{1}{1+x^2}\:.$$ Es ist leicht zu sehen, da$\phi(x)\geq 0$, es muss sein $$\Psi(x) >0\tag{1}$$ Und $$\Psi \in L^2(\mathbb R)\cap C^\infty(\mathbb R)$$ Weil$\Psi$ist die Summe von zwei$L^2$(glatte) Funktionen und$L^2(\mathbb R)$ist ein Vektorraum. Eine mögliche qualitative Form von$\Psi$ist hier vertreten

Beachten Sie das$\Psi$ist eine Eigenfunktion (ein echter Eigenvektor , da er dazugehört$L^2$), des Hamiltonian

$$H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + U(x)\:,$$ Wo $$U(x) := \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\Psi''(x)}{\Psi(x)}$$ ist konstruktionsbedingt glatt , insbesondere (1) Halten.

Es hält

$$H\Psi = E \Psi$$ mit$E=0$. Offensichtlich sind all diese Konstruktionen physikalisch bedeutungslos, aber sie werden von den allgemeinen Anforderungen des QM-Formalismus zugelassen.

Das kann deine Frage vielleicht teilweise beantworten. Prof. Moretti hat jedoch eine bessere Antwort.

Betrachten Sie eindimensionale Probleme auf dem Hilbert-Raum$L^2(\mathbb{R})$.

Wellenfunktionen, wie man sie nennt, sind normalerweise Eigenfunktionen des Hamiltonoperators, also des Energieoperators. Auch ansonsten sind sie mit einem physischen Operator verbunden$A$hergestellt aus$X$oder$P$. Welchen Platz auch immer$A$definiert ist, liegen diese Wellenfunktionen in diesem Raum.

Wenn Sie diese Operatoren nicht richtig definieren, sind sie von vornherein nicht selbstadjungiert; vergessen Sie ihre Summen oder Zusammensetzungen.

Aus dem Theorem von Stone definieren wir$X$Und$P$als Erzeuger geeigneter unitärer Transformationen und das Theorem spuckt einen speziellen Bereich für Selbstadjungiertheit aus. Da die Domänen (und ihre Bilder unter der Karte) nicht identisch sind, können wir keine Kompositionen wie definieren$X\circ X$Und$P\circ P$über sie zum Beispiel.

Wir kommen jedoch davon, indem wir den Schwartz-Raum verwenden$S(\mathbb{R})$als Domäne für alle. Es ist eine dichte Teilmenge von$L^2$die sich unter der üblichen Aktion von auf sich selbst abbildet$X$Und$P$. Dann können wir alle möglichen Summen und Zusammensetzungen auf dem Schwartz-Raum definieren. Ihre Selbstadjungiertheit ist jedoch selbst dann nicht garantiert. Aber als bestes Beispiel geben wir immer den harmonischen Oszillator,

$$H = X\circ X + P\circ P$$

ist im Wesentlichen selbstadjungiert. Daher seine einzigartige selbstadjungierte Erweiterung$\bar{H}$hat alle seine Eigenfunktionen.

Wellenfunktionen müssen jedoch nicht unbedingt Eigenfunktionen sein. Wir können Zustände wie ein Gaußsches Wellenpaket präparieren. Ich bin mir nicht sicher, was ihnen in voller Strenge erlaubt werden kann.

Um Ihre Frage nach bestem Wissen und Gewissen zu beantworten, liegen die Wellenfunktionen tatsächlich oft im Schwartz-Raum. Aber die Leute können sonst einige verrückte Beispiele finden. Ich bin damit nicht allzu vertraut.