Welche physikalische Bedeutung hat das Skalarprodukt zweier Wellenfunktionen im Quantenbereich?

Ich lese ein Buch für Anfänger der Quantenmechanik. In einem Abschnitt zeigt der Autor das Skalarprodukt zweier Wellenfunktionen ⟨ a | β ⟩ . Ich frage mich, was ist die Bedeutung dieses Produkts? Ich habe das gegoogelt und jemand nennt das Wahrscheinlichkeitsamplitude, aber dieses Produkt könnte komplex sein, sagt es also irgendeine physikalische Bedeutung?

Sollen wir in Bezug auf die Quanteninterferenz die Wellenfunktionen oder die Wahrscheinlichkeitsamplituden addieren, bevor wir das Quadrat des Moduls nehmen? Entschuldigung, ich fange gerade erst an, die Quantenmechanik zu lernen, und viele Konzepte sind für mich ziemlich verwirrend.

Das sieht, wie beschrieben, etwas seltsam aus. Vielleicht können wir Ihnen besser helfen, wenn Sie den Namen des Textes nennen oder die relevanten Gleichungen und ihren Kontext zeigen. Ich kann mir ein paar plausible Erklärungen vorstellen, aber ohne Kontext ist es schwer sicher zu sein.

Antworten (2)

Angenommen, Sie haben einen Hintergrund in linearer Algebra. Das Wichtigste, was Sie wissen müssen, ist, dass das Skalarprodukt die gleiche Bedeutung hat wie das, was Sie im linearen Algebra-Unterricht gelernt haben. Das innere Produkt

⟨ ϕ | ψ ⟩ = ∫ ϕ ∗ ( X ) ψ ( X ) D X

hat die Bedeutung einer Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor (für eine echte Projektion müssen die Wellenfunktionen normalisiert werden). Es ähnelt der Projektion eines dreidimensionalen Vektors v → = A X ^ + B j ^ + C z ^ auf einen anderen Einheitsvektor X ^ die Ihnen die Ergebnisse liefert v → ⋅ X ^ = A .

Erstens kann Ihnen das Skalarprodukt das "Längenquadrat" der Wellenfunktion geben:

⟨ ψ | ψ ⟩ = ∫ ψ ∗ ( X ) ψ ( X ) D X = ∫ | ψ ( X ) | 2 D X
ähnlich wie v → ⋅ v → = A 2 + B 2 + C 2 , sodass Sie Ihre Wellenfunktion durch die Bedingung normalisieren können ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1 .

Zweitens können Sie damit zeigen, dass zwei Wellenfunktionen orthogonal zueinander sind, was durch die Bedingung gegeben ist, dass das innere Produkt zu Null ausgewertet wird ⟨ ϕ | ψ ⟩ = 0 das ist das Analogon zu X ^ ⋅ j ^ = 0 .

Drittens , wenn wir die Wellenfunktion schreiben ψ ( X ) als Linearkombination orthonormaler Wellenfunktionen ψ N ( X ) :

ψ ( X ) = ∑ N C N ψ N ( X )
ähnlich einem allgemeinen Vektor in der linearen Algebra, dann haben wir das Skalarprodukt ⟨ ψ N | ψ ⟩ = C N . Die Bedeutung von C N die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist und im Allgemeinen eine komplexe Zahl ist. Also die Wahrscheinlichkeit P N der Wellenfunktion ψ die Komponente haben ψ N wird von gegeben P N = | C N | 2 = | ⟨ ψ N | ψ ⟩ | 2 . Die Bedeutung hier ist sehr wichtig, wenn Sie lernen, wie man Messungen durchführt.

Schließlich sollten Sie die Amplitude von zwei Wellenfunktionen addieren, bevor Sie das Quadrat nehmen, ähnlich wie die Amplitude von zwei Wasserwellen zu addieren. Genauer gesagt, wenn die neue Wellenfunktion ist ψ ( X ) = A [ ψ A ( X ) + ψ B ( X ) ] , dann die Wahrscheinlichkeitsdichte an Position X Ist A 2 | ψ A ( X ) + ψ B ( X ) | 2 . Beachten Sie, dass A ist die durch die Bedingung gegebene Normalisierungskonstante ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1 . Hier entsteht der Quanteneffekt. Nimm nicht das Quadrat und füge sie dann zusammen.

Danke Hwlau. In Ihrer letzten Aussage sagten Sie, ich solle die Amplitude der Wellenfunktionen addieren, bevor ich das Quadrat nehme. Bedeutet das etwa Folgendes: |<\phi_a+\phi_b|\phi_b+\phi_b>|^2, also ergibt sich |<\phi_a|\phi_a> + <\phi_a|\phi_b> + <\phi_b|\phi_a > + <\phi_b|\phi_b>|^2, habe ich recht?
Nein, wenn Sie das innere Produkt nehmen, ist es bereits das "Längenquadrat". Nimmst du wieder quadratisch, dann hast du "Länge hoch 4". Wenn ich "Länge" sage, ist es auch die "Länge" der gesamten Wellenfunktion, nicht einer bestimmten lokalen Region (x, x + dx). Sie erinnern mich auch daran, dass mir beim Hinzufügen von zwei Wellenfunktionen ein Normalisierungsfaktor fehlt. Siehe die Bearbeitung.
Lassen Sie mich auf einen Punkt eingehen, den hwlau angesprochen hat. Angenommen, ich bereite ein Quantensystem im Zustand vor | β ⟩ , und senden Sie es dann durch einen Filter, der den Zustand auswählt | a ⟩ . Beispielsweise könnten sich die Zustände auf die Polarisation von Licht beziehen, und der Filter könnte ein Polarisator sein. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die einzelnen Staaten den Filter passieren? Antworten: P = | ⟨ β | a ⟩ | 2 .
An hwlau, vielen Dank für Ihre Erklärung und Entschuldigung für meine Dummy-Frage. Ich bin verwirrend in Ihrer Aussage "Wenn Sie das innere Produkt nehmen, ist es bereits das "Längenquadrat"", so nach meinem Verständnis, ⟨ a | β ⟩ bezeichnen das innere Produkt, aber es könnte komplex sein. Zum Beispiel, wenn | a ⟩ = e − ich a | β ⟩ , Dann ⟨ a | β ⟩ = e ich a . Ich verstehe also nicht, warum das innere Produkt hier das Längenquadrat ist. Könnten Sie bitte mehr erklären, danke.
@ user1285419 Dies ist keine Dummy-Frage, sondern nur eine grundlegende Frage. Das innere Produkt ist im Allgemeinen komplex. Ich sage jedoch, es ist "Länge im Quadrat", weil Sie im ersten Kommentar schreiben, dies ist die Bedeutung von < ψ | ψ > wenn die Wellenfunktion ψ in der Klammer sind gleich. In diesem Fall ist das Ergebnis immer eine positive reelle Zahl (siehe Gleichung 2), was Längenquadrat bedeutet. Außerdem sollten Sie beachten, dass, wenn Leute über Wellenfunktionen sprechen, dies fast immer bedeutet, dass sie normalisiert ist, was bedeutet, dass dies der Fall ist < ψ | ψ >= 1 (genau wie emarti in seinem Kommentar angedeutet hat)

Das Punktprodukt, das Sie erwähnen, ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, mit der sich einer der Zustände in einen anderen umwandelt. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Norm der Amplitude. Das passiert ständig in der Quantenphysik.

Auch, um Auletta zu zitieren , „der Ausdruck ⟨ ψ | U T | φ ⟩ ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, die bei einem Anfangszustand gegeben ist | φ ⟩ , misst, wie nahe es sich einheitlich zu einem Endzustand entwickelt | ψ ⟩ zum Zeitpunkt T " Wo U T = e − ich ℏ H ^ ( T − T 0 ) .
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