Verbindung von Schrödinger-Gleichung, Unitarität und Normerhaltung von Zuständen in der Zeitevolution

Question

Verbindung von Schrödinger-Gleichung, Unitarität und Normerhaltung von Zuständen in der Zeitevolution

Benutzer1936752

Dies mag sehr einfach sein, aber ich habe Probleme beim Verbinden der folgenden Probleme:

1) Die 2-Norm für Zustandsvektoren bleibt während der Zeitentwicklung erhalten

2) Der Hamiltonoperator ist ein hermitescher Operator. Mit der Schrödinger-Gleichung können wir dann verstehen, wie die Zeitentwicklung auf einen Zustand einwirkt.

Als Konsequenz aus 1) oder 2) können wir zeigen, dass die Zeitentwicklung einheitlich ist. Aber ich sehe nicht ein, warum 1) oder 2) von vornherein wahr sein müssen. Außerdem, wenn nur einer von ihnen wahr ist, stoße ich dann auf eine Art Inkonsistenz?

Beginnen wir mit 1) - Wenn wir die zeitliche Entwicklung von Zuständen betrachten, warum gibt es eine Anforderung, dass innere Produkte erhalten bleiben? Offensichtlich möchte ich nicht davon ausgehen, dass die Evolution einheitlich ist, da dies ein Zirkelschluss ist. Was macht es aus, wenn es mir nicht gelingt, die 2-Norm eines willkürlichen Zustandspaars beizubehalten, während sie beide eine Zeitentwicklung durchlaufen?

Was 2 betrifft, war diese Antwort ( https://physics.stackexchange.com/a/264439/52363 ) ziemlich aufschlussreich. Wenn Operatoren nicht hermitesch sein müssen, dann gilt dies auch für den Hamiltonoperator. Als Ergebnis kann ich eine nicht-einheitliche Evolution erhalten, die natürlich die 2-Norm nicht bewahrt.

Ich glaube, ich bin ein bisschen verwirrt darüber, wie diese Konzepte zusammenkommen, also wird jede Hilfe sehr geschätzt! Welche Annahmen kommen zuerst und warum landen wir bei der Quantentheorie, die wir heute haben?

Photon

1) muss gelten, da sonst die Wahrscheinlichkeit, „was auch immer“ zu messen, von 1 abweichen würde.

Benutzer1936752

@Photon, könntest du diese Aussage präzisieren? Reden wir über

⟨ ψ | ψ ⟩

$\langle \psi\vert\psi \rangle$ oder zwischen beliebigen Zuständen, dh

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle \phi\vert\psi \rangle$

Photon

Wir sprechen von der (quadratischen) Norm, nicht vom Skalarprodukt:

⟨ ψ | ψ ⟩ = \int ψ^{⋆} (X) ψ (X) D^{3} X = \int | ψ (X) |^{2} D^{3} X = \int ρ (X) D^{3} X

$\langle \psi|\psi\rangle = \int \psi^\star(x)\psi(x)d^3x = \int |\psi(x)|^2d^3x=\int \rho(x)d^3x$ Wo

ρ

$\rho$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Das Integral über den ganzen Raum von

ρ

$\rho$ sollte gleich 1 sein.

ACuriousMind

Welche Annahmen "zuerst" kommen, hängt davon ab, wie Sie Quantenmechanik betreiben möchten. Wenn Sie eine Theorie mit einer Menge Aussagen haben, die alle voneinander abgeleitet werden können, ist es eine ziemlich bedeutungslose Frage, welche von ihnen "zuerst" kommt - es ist eine Frage des Geschmacks, welche dieser Aussagen Sie am besten begründen können als Axiom zu akzeptieren, aber es gibt nichts in der Theorie, was dies besser oder schlechter machen würde als jede andere Wahl.

Benutzer1936752

@ACuriousMind, fair genug. Bedeutet das in diesem Fall, dass sowohl 1) als auch 2) unabhängige Annahmen sind? Und wenn ich 1) annehme, aber nicht 2), bekomme ich immer noch eine einheitliche Evolution oder etwas anderes?

Antworten (1)

Verbindung von Schrödinger-Gleichung, Unitarität und Normerhaltung von Zuständen in der Zeitevolution

1) muss gelten, da sonst die Wahrscheinlichkeit, „was auch immer“ zu messen, von 1 abweichen würde.
@Photon, könntest du diese Aussage präzisieren? Reden wir über $\langle \psi\vert\psi \rangle$ oder zwischen beliebigen Zuständen, dh $\langle \phi\vert\psi \rangle$
Wir sprechen von der (quadratischen) Norm, nicht vom Skalarprodukt: $⟨ ψ | ψ ⟩ = \int ψ^{⋆} (X) ψ (X) D^{3} X = \int | ψ (X) |^{2} D^{3} X = \int ρ (X) D^{3} X$ $\langle \psi|\psi\rangle = \int \psi^\star(x)\psi(x)d^3x = \int |\psi(x)|^2d^3x=\int \rho(x)d^3x$ Wo $\rho$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Das Integral über den ganzen Raum von $\rho$ sollte gleich 1 sein.
Welche Annahmen "zuerst" kommen, hängt davon ab, wie Sie Quantenmechanik betreiben möchten. Wenn Sie eine Theorie mit einer Menge Aussagen haben, die alle voneinander abgeleitet werden können, ist es eine ziemlich bedeutungslose Frage, welche von ihnen "zuerst" kommt - es ist eine Frage des Geschmacks, welche dieser Aussagen Sie am besten begründen können als Axiom zu akzeptieren, aber es gibt nichts in der Theorie, was dies besser oder schlechter machen würde als jede andere Wahl.
@ACuriousMind, fair genug. Bedeutet das in diesem Fall, dass sowohl 1) als auch 2) unabhängige Annahmen sind? Und wenn ich 1) annehme, aber nicht 2), bekomme ich immer noch eine einheitliche Evolution oder etwas anderes?

John Donne · Answer 1

Die meisten Fragen wurden bereits in den Kommentaren beantwortet. Ich werde einige der Punkte zusammenfassen und erweitern.

Das OP fragt, warum wir eine Anforderung haben, dass die 2-Norm von Vektoren während der Zeitentwicklung erhalten bleibt. Die Antwort, die bereits in den Kommentaren gegeben wurde, lautet wie folgt. Lassen $U(t)$ sei der Zeitentwicklungsoperator, und $\lvert \psi(t) \rangle$ der Zustand des Systems zu diesem Zeitpunkt $t$ . Dann $\lvert \psi(t) \rangle = U(t)\lvert \psi(0) \rangle$ Wo $\lvert \psi(0) \rangle$ ist der Anfangszustand. Wir bestehen darauf, dass die Wellenfunktion normiert ist, was in der üblichen Interpretation bedeutet, dass Wahrscheinlichkeiten "sich zu 1 addieren". Also wenn $\langle \psi(0)\lvert \psi(0) \rangle=1$ . Das fordern wir daher $U(t)$ einheitlich ist, um sicherzustellen, dass die Wellenfunktion dann jederzeit normiert ist.

Wenn die Zeitentwicklung nicht einheitlich war, dann haben Sie es vielleicht $\langle \psi(t)\lvert \psi(t) \rangle \neq 1$ . Wenn es größer als eins ist, dann ist es Unsinn (solange Sie glauben, dass die Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude interpretiert werden kann). Wenn es weniger als eins ist, "verliert" Ihr System Informationen. Auch das ist in der üblichen Auslegung Unsinn. Einige Leute verwenden dies, um dissipative Effekte zu modellieren, indem sie ein imaginäres Potenzial verwenden, was sich in eine nicht hermitische Hamiltonsche und daher (wenn Sie Schrödinger glauben) nicht einheitliche Evolution übersetzen lassen.

Wie die von Ihnen verknüpfte Frage richtig zeigt, benötigen wir Operatoren, die Observablen entsprechen, um normal zu sein. Denn nach dem Spektralsatz bedeutet dies, dass sie durch eine orthogonale Menge diagonalisierbar sind, was wir brauchen, wenn Messungen sinnvoll sein sollen. Beachten Sie jedoch, dass wir einen hermiteschen Hamiltonoperator aus nichtnormalen Operatoren aufbauen können. Das typische Beispiel ist der harmonische Oszillator, für den $H=a^\dagger a$ , Aber $a$ ist nicht normal. Wenn wir verlangen, dass die Eigenwerte eines normalen Operators reell sind, dann ist der Operator hermitesch. Warum tun wir das? Daran sind wir gewöhnt. Orts-, Impuls- und Energieeigenwerte haben eine einfache Interpretation, wenn sie reell sind. Was wäre, wenn sie komplex wären? Dies passiert, wenn Sie Streuung machen, für die die Wellenfunktion nicht normierbar ist, und Sie können komplexe Impulse und Energien erhalten, die in diesem Zusammenhang als Abklingzeiten interpretiert werden können (siehe diese Anmerkungen , Seite 312 ff.). Es ist jedoch nicht klar, wie sie im Allgemeinen zu interpretieren sind.

Wir können die logische Kette zusammenfassen:

Wellenfunktionen sind Wahrscheinlichkeitsamplituden ⟹ Zeitentwicklung sollte einheitlich sein

$\textrm{wavefunctions are probabilty amplitudes} \implies \textrm{time evolution should be unitary}$

Observables liefern reale Messwerte ⟹ entsprechende Operatoren sollten hermitesch sein

$\textrm{observables give real measurements} \implies \textrm{corresponding operators should be hermitian}$

Die Schrödinger-Gleichung gilt \Leftrightarrow Zeitentwicklung ist gegeben durch e^{- ich H T}

$\textrm{Schrodinger equation holds} \Leftrightarrow \textrm{time evolution is given by } e^{-iHt}$

Um Ihre Frage in den Kommentaren zu beantworten, wenn Sie 1) annehmen, aber nicht 2), erhalten Sie immer noch eine einheitliche Zeitentwicklung, kennen jedoch nicht unbedingt ihren mathematischen Ausdruck.

Beachten Sie jedoch, dass es im QM Fälle gibt, in denen wir Dinge anders interpretieren möchten. Das häufigste Beispiel sind Streuzustände, deren Wellenfunktionen nicht als Wahrscheinlichkeitsamplituden interpretiert werden.

Verbindung von Schrödinger-Gleichung, Unitarität und Normerhaltung von Zuständen in der Zeitevolution

Benutzer1936752

Photon

Benutzer1936752

Photon

ACuriousMind

Benutzer1936752

Antworten (1)

John Donne

Wie kann ich beweisen, dass die Wellenfunktion im Laufe der Zeit normalisiert bleibt?

Ist dieser Beweis für Griffith wasserdicht? [Duplikat]

Beweis der Normalisierung der Wellenfunktion

Möglicher Annahmefehler - Griffiths Quantenmechanik

Warum ist ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx − \omega t)} eine gültige Wellenfunktion, da sie auf RR\Bbb R nicht endlich integrierbar ist?

Streuung vs. gebundene Zustände

Warum ist Zeitentwicklung einheitlich? - Die Heisenberg-Bild-Version

Gebundene Zustände und Streuzustände - Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Zeitentwicklung im abstrakten Zustandsraum der Quantenmechanik

Vollständigkeit der Energieeigenfunktion