Wie kann ich beweisen, dass die Wellenfunktion im Laufe der Zeit normalisiert bleibt?

Für alle praktischen Zwecke in der Physik ist die Existenz von$\int_V |\Psi|^2dV$kommt mit$\Psi(x,t)$geht auf 0 als$\|x\|$geht zu$+\infty$während die räumlichen Ableitungen begrenzt bleiben. Somit geht dein letztes Integral gegen 0.

Wie Valter Moretti in den Kommentaren betonte, ist es einfach, eine zu bauen$\Psi$so dass$\int_{\mathbb{R}^3} |\Psi|^2dV$ist endlich aber$\Psi$geht ins Unendliche als$\|x\|$geht zu$+\infty$. Das ist bereits in 1D möglich. Sehen Sie sich diese Frage zu Fragen und Antworten zu Mathematik und die Handvoll Antworten an, um die Idee zu bekommen, und mischen Sie das dann mit diesem Trick , um reibungslose Funktionen zu erhalten. Erschütterung und Verzweiflung bei Mathematik … Glücklicherweise stellt sich heraus, dass wir Physiker es geschafft haben, solche Probleme ohne nennenswerte Gegenreaktion sicher zu ignorieren.

Die Antwort von @LucJ.Bourhis liefert die erforderlichen Informationen zum Warum$\oint_S \rightarrow 0$als die Größe von$S\rightarrow \infty$. Genauer gesagt, untersuchen Sie das Normierungsintegral in Kugelkoordinaten:

$$N\equiv\int |\Psi|^2 r^2\sin\theta \operatorname{d} r \operatorname{d}\theta \operatorname{d}\phi.$$ Damit $N$endlich sein, $\lim_{r\rightarrow\infty} r^{3+\epsilon} |\Psi|^2 = 0$für einige $\epsilon > 0$(dh das Argument des radialen Integrals muss schneller verschwinden als $1/r$). Untersucht man die Komponenten des Gradienten von $|\Psi|^2$(gleich dem Argument von $\oint_S$nach der Produktregel) werden Sie feststellen, dass sie wie zumindest die Ableitung der Obergrenze verschwindet $|\Psi|^2$. Mit der oberen Grenze an $|\Psi|^2$Sein $\propto r^{-3-\epsilon}$, dann die Obergrenze an $\left|\partial_r |\Psi|^2\right|$Ist $\propto r^{-4-\epsilon}$. Diese Frage zu math.stackexchange ist relevant, ob dieser Beweis stichhaltig ist.

Das Erklären, warum die Winkelkomponenten irrelevant sind, bleibt als Übung.

Für ein System mit Hamiltonoperator$\hat H$, die zeitliche Entwicklung eines beliebigen Zustands$|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle$regiert wird

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle = \hat H |\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle \tag{1}\label{SE}.$$

Wir können den Adjoint von Gl.$\eqref{SE}$und es liest

$$-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)| = \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)| \hat H \tag{2}\label{adjSE}.$$

Beachten Sie, dass wir annehmen, dass der Hamiltonoperator hermitesch ist, daher auf der rechten Seite von Gl.$\eqref{adjSE}$,$\hat H^ \dagger$wurde ersetzt durch$\hat H$.

Nun kommen wir zur ursprünglichen Frage, nämlich der zeitlichen Entwicklung der Normalisierung$\mathcal{N}(t) := \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle$der Wellenfunktion. Daher möchten wir folgende Größe auswerten --

$$\mathcal{\dot N}(t) = \frac{\partial}{\partial t}\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle.$$

Wir gehen vor wie

$$\begin{align} \mathcal{\dot N}(t) & = \frac{\partial}{\partial t}\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle, \\ \\ & = \left(\frac{\partial}{\partial t} \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\left(\frac{\partial}{\partial t} |\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle\right), \\ \\ & = \frac{1}{-i\hbar}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|~\frac{1}{i\hbar}~\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} |\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle\right), \\ \\ & = \frac{1}{-i\hbar}~\left(\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\hat H\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|~\frac{1}{i\hbar}~\left(\hat H|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle\right), \mathrm{Using~Eqs. \eqref{SE} \& \eqref{adjSE}} \\ \\ & = \frac{1}{-i\hbar}~\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\hat H|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \frac{1}{i\hbar}~\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\hat H|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle, \\ \\ & = 0. \end{align}$$

Da die zeitliche Ableitung der Normierung Null ist , bleibt die Normierung zeitlich konstant.

Dinge zu beachten:

• Damit die Normierung zeitunabhängig ist, benötigt man eine einheitliche Zeitentwicklung der Zustände$|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle$, nämlich $$|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle = \mathcal{U}\left(t,t'\right)|\Psi\left(\textbf{r},t'\right)\rangle.$$
• Für$\mathcal{U}\left(t,t'\right)$unitärer Operator der Form sein $$\mathcal{U}\left(t,t'\right) = \exp\left(-i\hat H (t-t')/\hbar\right),$$ man verlangt$\hat H$Hermitesch sein.
• Der grundlegende Grund dafür, dass die Zustände in einer Zeitentwicklung vom Schrödinger-Typ normalisiert bleiben, ist die Hermitizität des Hamilton-Operators. Es gibt jedoch Situationen, in denen die Zustände unter der Zeitentwicklung für Hamiltonian normalisiert bleiben können, die nicht hermitesch sind. Allerdings ist die Zeitunabhängigkeit der Normierung für eine unitäre Zeitentwicklung, nämlich für einen hermiteschen Hamiltonoperator, unter der Gleichung vom Schrödinger-Typ garantiert.