Warum ist der Zeitentwicklungsoperator unitär?

Wenn wir die Systemzeit verschieben T = 0 Zu T = T , können wir den folgenden Operator definieren U ^ .

(1) U ^ = e − ich H ^ T / ℏ .

So viele (soweit ich gelesen habe, fast alle) Dokumente gehen davon aus H ^ ist hamiltonsch und H ^ = H ^ † um zu beweisen, dass U ^ ist einheitlich.

Ich verstehe nicht, warum wir sagen können H ^ in (Gl. 1) ist hamiltonsch. Ich glaube H ^ In ( 1 ) ist zu diesem Zeitpunkt nur ein Operator und es gibt keinen vernünftigen Kontext, um daraus zu schließen H ^ hier ist nichts anderes als Hamiltonian, den wir kennen.

Kann mir bitte jemand den Grund nennen?

@Qmechanic Vielen Dank, dass Sie mir ähnliche Beiträge mitgeteilt haben. Ich habe bereits den 1. und den 3. Beitrag gelesen und dann diesen Eintrag gepostet. Also werde ich den zweiten lesen.

Antworten (3)

1. Standpunkt:

Wenn Sie die Schrödinger-Gleichung akzeptieren

ich ℏ ∂ T ψ = H ^ ψ
mit selbstadjungiert H ^ , dann folgt Ihre Gleichung 1 direkt und U ^ ist einheitlich.

2. Sicht:

Die Zeitentwicklung muss die folgenden Eigenschaften haben:

  • U ^ muss normerhaltend sein, damit die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt.
  • U ^ sollte invertierbar sein, damit Informationen erhalten bleiben.

Diese beiden Eigenschaften zusammen implizieren dies U ^ ist einheitlich. Wenn Sie die Tatsache hinzufügen, dass U ^ ( T ) sollte eine Gruppe sein, folgt Ihre Gleichung 1 und sie impliziert die Schrödinger-Gleichung mit Selbstadjungierung H ^ .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ist die Aussage „ U ^ muss normerhaltend" trivial sein? In einigen Dokumenten habe ich gesehen, dass „Zeitentwicklung die Wahrscheinlichkeit erhalten muss", aber ich bin nicht von der Behauptung überzeugt. Ich verstehe ∫ − ∞ ∞ | ψ ( X , T ) | 2 D X = 1 immer, aber nicht verstehen | ψ ( X , T ) | an sich schont jederzeit.
| ψ ( X , T ) | nicht die Norm ist, ist dieser integrale Ausdruck die Norm. Da haben Sie Recht | ψ ( X , T ) | kann sich ändern, wenn der Zeitentwicklungsoperator auf die Wellenfunktion einwirkt, aber nicht die Norm.
Danke schön. Jetzt verstehe ich die Bedeutung von "Wahrscheinlichkeit muss erhalten bleiben". Danke dir.
Muss die Invertierbarkeit getrennt von der Normerhaltung angenommen werden? Garantiert nicht allein die Normerhaltung (für den gesamten Hilbertraum) Einheitlichkeit?
@tparker Nicht, wenn der Hilbert-Raum unendlich dimensional ist, siehe math.stackexchange.com/a/900311/224757 . Technisch benötigen wir nur Normerhaltung (Isometrie) und Surjektivität.
@Noiralef Ich sehe nicht, dass die Erhaltung von Informationen Surjektivität impliziert. Ich meine, U ^ † ist für jede Isometrie immer eine Linksinverse U ^ , dh U ^ † U ^ = ICH . Die Umkehrung jeder Isometrie U ^ ist zumindest in seiner Reichweite wohldefiniert. Also, alle Informationen auf verschlüsselt ψ , kann abgerufen werden U ^ ψ durch die Aktion von U ^ † .

Die Annahme ist, dass die Wellenfunktion eine Wahrscheinlichkeitsamplitude ist. Insbesondere ist es ein normalisierter Vektor. In Diracs Notation ist dies die Aussage:

⟨ ψ | ψ ⟩ = 1.
Dies kann konkretisiert werden mit:
Ö R D ich N A R j   v e C T Ö R S   ∑ ich ψ ich ⋆ ψ ich = 1 , w A v e   F u N C T ich Ö N S   ∫ ψ ⋆ ( X ) ψ ( X ) D ⁡ X = 1 ,   Ö R e v e N   w A v e   F u N C T ich Ö N A l S   ∫ [ D ϕ ( X ) ] Ψ ⋆ [ ϕ ( X ) ] Ψ [ ϕ ( X ) ] = 1.
Machen Sie sich keine Sorgen, wenn letzteres kryptisch ist - es ist für den Fall, dass Sie sich mit der Quantenfeldtheorie befassen.

Der wichtige Punkt ist, dass die Wellenfunktion darauf beschränkt ist, nur in einem Teil des Vektorraums zu existieren; wie Einheitsvektoren darauf beschränkt sind, auf der Oberfläche einer Kugel zu liegen. Transformationen, die diese Einschränkung berücksichtigen, werden als unitär bezeichnet . Diese Einschränkung bedeutet also, dass jede erlaubte Transformation von | ψ ⟩ ist einheitlich. Drehungen, räumliche Translationen, Reflexionen usw. müssen alle die Anforderung erfüllen, dass die Wellenfunktion normalisiert bleibt.

Der Rest ergibt sich aus der Forderung, dass der zeitliche Übersetzungsvorgang eine kontinuierliche Veränderung ist | ψ ⟩ und dass sich die Quantenmechanik im Durchschnitt auf die klassische Mechanik abbildet (siehe: das Korrespondenzprinzip ). Das bedeutet, dass H ^ , der Generator von Zeittranslationen in der Quantenmechanik, muss mit dem Generator von Zeittranslationen in der klassischen Mechanik, dem Hamiltonoperator, korrespondieren.

Es gibt eine mir bekannte Ausnahme von der Einheitlichkeitsanforderung. Das sind Zeitreflexionen. Zeitreflexion ist antieinheitlich . Einzelheiten finden Sie im Wikipedia-Artikel auf T -Symmetrie .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Was Sie für mich geschrieben haben, ist nicht einfach, aber scheint substanziell zu sein. Insbesondere der Teil "muss mit dem Generator von Zeitübersetzungen in der klassischen Mechanik, dem Hamiltonian, korrespondieren." würde mir sehr helfen. Vielleicht ist das nicht streng, aber eine solche Argumentation ist für QM-Anfänger wie mich leicht zu akzeptieren.

Ein intuitiver Ansatz wäre, zu bemerken, dass das Adjoint U † ( T ) ist das gleiche wie U ( − T ) .

Also wenn U ( T ) | ψ ( 0 ) ⟩ = | ψ ( T ) ⟩

Und U † ( T ) | ψ ( 0 ) ⟩ = | ψ ( − T ) ⟩

Dann U † ( T ) U ( T ) | ψ ( 0 ) ⟩ = | ψ ( 0 ) ⟩

Bedeutung U † U = ICH , die Forderung nach einem einheitlichen Operator.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich verstehe den intuitiven Ansatz nicht, den Sie mir erzählt haben. Ich glaube A † = ( T A ) ∗ . Ich habe keine Ahnung, warum der Adjoint des Zeitentwicklungsoperators U ^ entspricht dem Zeitumkehroperator. (Vielleicht bin ich in einer elementareren Phase. Ich bin wirklich ein Anfänger von QM.)
Oh, es ist super einfach - da U ( T ) = e − ich H T / ℏ , Dann U † ( T ) = e + ich H T / ℏ Dies ist dasselbe, was Sie erhalten würden, wenn Sie -t als Argument für U verwenden würden: U ( − T ) = e − ich H ( − T ) / ℏ = e + ich H T / ℏ = U † ( T )
Das möchte ich in diesem Beitrag fragen. Ich denke du vermutest H † = H . Ich kenne den vernünftigen Grund nicht, also habe ich diesen Eintrag gepostet.
Das ist nur nach der Definition des Hamiltonschen wahr. Wenn Sie anstelle von H einen nicht-hermiteschen Operator einsetzen, haben Sie Recht, dass U nicht unitär wäre.
Auch erwähnenswert - wenn Sie anstelle von H einen hermiteschen Operator einsetzen, der nicht der Hamiltonsche ist, könnte er immer noch unitär sein, wäre aber nicht der Zeitentwicklungsoperator.
Dank dir und anderen Helfern verstehe ich jetzt, was ich wissen wollte. Danke nochmal.
Warum ist der Zeitentwicklungsoperator unitär?
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