Warum folgt der Hamiltonoperator der Eigenschaft H∗ij=HjiHij∗=HjiH^*_{ij} = H_{ji} ?

Okay, also bringen wir das Ding richtig in Gang.

Die Eigenschaft, über die Sie sprechen, wird mit verschiedenen Namen bezeichnet, die Sie googeln können: zB dass die Hamilton-Matrix selbstadjungiert sein muss (wobei die Adjungierte die konjugierte Transponierte ist) oder Hermitian .

Die am einfachsten zu beweisende Eigenschaft von hermiteschen Matrizen ist, dass sie reelle Eigenwerte für ihre definierende Eigenschaft haben$\langle H \psi| \psi\rangle = \langle \psi| H \psi\rangle$verbindet sich mit dem Grundstück$\langle a | b\rangle = \left(\langle b | a\rangle\right)^*$zu sagen, dass eine bestimmte Zahl (ein "Erwartungswert") gleich ihrer eigenen Konjugierten ist, was nur für reelle Zahlen gilt.

Wie hängt das mit der Wahrscheinlichkeitserhaltung zusammen? Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist

$$P = \sum_i C_i^* ~ C_i$$ und die Schrödinger-Gleichung 8.39, die er präsentiert, ist: $$i\hbar\,\frac{\rm dC_i}{\rm dt}=\sum_jH_{ij}(t)C_j(t).$$ Der konjugierte Ausdruck muss also lauten: $$-i\hbar\,\frac{\rm dC_i^*}{\rm dt}=\sum_jH_{ij}^*(t)C_j^*(t).$$ Nehmen wir jetzt einfach eine Ableitung von $P$mit der Produktregel, als: $$\begin{align}i\hbar \frac{dP}{dt} &= i\hbar \sum_i \left({\rm dC_i^*\over \rm dt} ~ C_i + C_i^* ~ {\rm dC_i\over \rm dt}\right)\\ &= \sum_{ij}\left(C_i^* ~H_{ij} ~C_j - H_{ij}^* ~C_j^*~ C_i\right)\end{align}$$ Wir führen jetzt einen schmutzigen Trick aus: Wir teilen diese Summe in ihre zwei Terme auf und benennen jeden Teil der Summe anders. Im ersten Semester nehmen wir $i \mapsto m$Und $j \mapsto n$. Aber im zweiten Semester nehmen wir $i \mapsto n$Und $j \mapsto m$. Wir kombinieren dann beide Terme miteinander, um zu finden: $$i\hbar \frac{\rm dP}{\rm dt} = \sum_{mn}\left(C_m^* ~H_{mn} ~C_n - H_{nm}^* ~C_m^*~ C_n\right),$$ und, Kombinieren gleicher Begriffe: $$i\hbar \frac{\rm dP}{\rm dt} = \sum_{mn}C^*_m~C_n \left(H_{mn} - H_{nm}^*\right).$$ Die Implikation ist, dass, wenn wir wollen $\rm dP/\rm dt = 0$für alle $C_n$(Gesamtwahrscheinlichkeit entgeht dem System nicht), dann müssen wir haben, dass die eingeklammerte Matrix die 0-Matrix ist.

Warum? Es ist eigentlich nicht zu kompliziert zu sehen. Wenn wir die stehlen$i$von links zu definieren

$$D_{mn} = -i \left(H_{mn} - H_{nm}^*\right),$$ dann wissen wir das genau $D_{mn}$ist konstruktionsbedingt hermitesch. (Nehmen Sie einfach seine konjugierte Transponierte, ich wage es.) Da es hermitesch ist, ist es niemals defekt und wir können es mit reellen Eigenwerten diagonalisieren. Nun entweder einer dieser Eigenwerte $\lambda$nicht Null ist, in diesem Fall können wir den entsprechenden Eigenvektor als verwenden $C_n$oben und wir bekommen $\hbar \frac{\rm dP}{\rm dt} = \lambda \sum_m C_m^* C_m = \lambda P$, Verletzung der Wahrscheinlichkeitserhaltung, oder alle Eigenwerte sind 0 und dieser Ausdruck ist die 0-Matrix. Aber die 0-Matrix hat in allen Basen nur Nullkomponenten, nicht nur in ihrer Eigenbasis, also deshalb $H_{mn} = H^*_{nm}$Im Algemeinen.

Wenn diese Eigenschaft dann nicht gilt$H$ist nicht hermitesch. Dies bedeutet, dass seine Eigenwerte komplex sein könnten und der Zeitentwicklungsoperator nicht einheitlich sein wird:$U(t)U(t)^\dagger=e^\frac{iHt-itH^\dagger }{\hbar} \neq1$

Wenn es nicht einheitlich ist, ändert es die Länge Ihrer Zustandsvektoren, die Sie entwickeln. Da die Länge dieser ($\sum_i |C_i(t)|^2$) Vektoren die Summe der Wahrscheinlichkeiten sind, bleibt Ihre Gesamtwahrscheinlichkeit nicht erhalten.

Worauf er sich eigentlich bezieht, ist die mathematische Tatsache, dass in der Reihenfolge für die Standardnorm (Länge) von$n$-Tupel$[C_j]_{j=1,2,...n}$während der durch die Gleichung bestimmten Evolution erhalten bleiben

$$\frac{\rm dC_i}{\rm dt} = -\frac{i}{\hbar} \sum_j H_{ij} C_j$$ Wo $H_{ij}$zeitunabhängige komplexe Matrix ist, muss diese Matrix hermitesch sein, dh die Bedingung für alle Paare erfüllen $i,j$,

$$H_{ij}^* = H_{ji}.$$

Dies lässt sich anhand der Bedingung beweisen, dass das Normquadrat zeitlich konstant ist:

$$\frac{\rm d}{\rm dt}\bigg(\sum_i C_i^*C_i\bigg)=0$$

und unter Verwendung der obigen Differentialgleichung.

Feynman formuliert dies einfach um und verwendet den Begriff "Gesamtwahrscheinlichkeit" anstelle von "Norm im Quadrat", da dies üblich ist$|C_i|^2$als Wahrscheinlichkeit, dass$i^{\textrm{th}}$Eigenwert von$H$wird gemessen.