Motivation für Übergangswahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik

Question

Motivation für Übergangswahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik

Alex

Im Bereich der zeitabhängigen Störungstheorie, wenn wir haben

\hat{H} (T) = {\hat{H}}_{0} + \hat{v} (T) .

$\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t).$ Die Schrödinger-Gleichung ist

ich ℏ \frac{D | Ψ (T) ⟩}{D T} = ({\hat{H}}_{0} + \hat{v} (T)) | Ψ (T) ⟩

$i \hbar \frac{d | \Psi(t) \rangle}{dt} = (\hat{H}_0 + \hat{V}(t))| \Psi(t) \rangle$ wo im Shrodinger Bild wir haben

| Ψ (T) ⟩ = \sum_{N} C_{N} (T) e^{\frac{- ich E_{N}}{ℏ}} | ψ_{N} ⟩

$|\Psi(t) \rangle = \sum_n c_n(t)e^{\frac{-iE_n}{\hbar}}| \psi_n \rangle$ Im Interaktionsbild haben wir

ich ℏ \frac{D | Ψ (T) ⟩_{ICH}}{D T} = {\hat{v}}_{ICH} (T) | Ψ (T) ⟩_{ICH}

$i \hbar \frac{d | \Psi(t) \rangle_{I}}{dt} = \hat{V}_{I}(t) | \Psi(t) \rangle_{I}$ Wo

| Ψ (T) ⟩_{ICH} = \hat{U} (T, T_{ich}) | Ψ (T_{ich}) ⟩_{ICH}

$| \Psi(t) \rangle_{I} = \hat{U}(t,t_i)| \Psi(t_i) \rangle_I$ wir bekommen also

ich ℏ \frac{D \hat{U} (T, T_{ich})}{D T} = {\hat{v}}_{ich} (T) {\hat{U}}_{ICH} (T, T_{ich}) .

$i \hbar \frac{d \hat{U}(t, t_i)}{dt} = \hat{V}_i(t)\hat{U}_{I}(t,t_i).$

Frage: Kurze Frage, warum folgt daraus, dass die Übergangswahrscheinlichkeit einem Übergang von einem ungestörten Anfangszustand entspricht $| \psi_i \rangle$ in einen anderen ungestörten Zustand $| \psi_f \rangle$ Ist

P_{ich F} (T) = | ⟨ ψ_{F} | {\hat{U}}_{ICH} (T, T_{ich}) | ψ_{ich} ⟩ |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f | \hat{U}_{I}(t,t_i)| \psi_i \rangle |^2$ auch deshalb ist die Übergangswahrscheinlichkeit in Bezug auf die Entwicklungskoeffizienten gegeben durch

P_{ich F} (T) = | C_{F}^{0} + C_{F}^{1} + . . . |^{2} ?

$P_{if}(t) = |c_{f}^{0}+c_{f}^{1} +...|^2?$ Sind das Postulate?

Danke.

Antworten (1)

Motivation für Übergangswahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik

mhm · Answer 1

Frage 1 :

Erinnern wir uns zunächst an die Verbindung zwischen dem Schrödinger- und dem Interaktionsbild:

| ψ (T) ⟩_{ICH} = e^{ich \hat{H_{0}} T / ℏ} | ψ (T) ⟩_{S} Und {\hat{Ö}}_{ICH} (T) = e^{ich \hat{H_{0}} T / ℏ} {\hat{Ö}}_{S} (T) e^{- ich \hat{H_{0}} T / ℏ}

$|\psi(t)\rangle_I = e^{i\hat{H_0}t/\hbar} |\psi(t)\rangle_S \quad \text{and} \quad \hat{O}_I(t) = e^{i\hat{H_0}t/\hbar} \hat{O}_S(t) e^{-i\hat{H_0}t/\hbar}$

Wenn ich deine Notation gut verstehe $| \psi_f \rangle$ Und $| \psi_i \rangle$ erhalten ungestörte Zustände (d.h. Eigenvektoren von $\hat{H}_0$ mit Eigenwerten $E_f$ Und $E_i$ ) Wo $f$ steht für final und $i$ steht für initial.

Nun, eigentlich haben Sie die Antwort auf Ihre Frage bereits geschrieben :).

Lassen Sie mich erklären: Der Betreiber $\hat{U}_I(t,t_i)$ ist der Evolutionsoperator im Wechselwirkungsbild. Per Definition, wenn Sie es auf den Anfangszustand anwenden $|\psi(t_i)\rangle_I = | \psi_i \rangle$ , es macht es zu der Zeit zum Zustand zu entwickeln $t$ im Interaktionsbild, das heißt $| \psi(t) \rangle_I$ :

| ψ (T) ⟩_{ICH} = {\hat{U}}_{ICH} (T, T_{ich}) | ψ (T_{ich}) ⟩_{ICH} = {\hat{U}}_{ICH} (T, T_{ich}) | ψ_{ich} ⟩

$| \psi(t) \rangle_I = \hat{U}_I(t,t_i) | \psi(t_i) \rangle_ I = \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle$

Nun, die Wahrscheinlichkeit, den Zustand zu messen $| \psi(t) \rangle_I$ als $| \psi_f \rangle$ ist per Definition auch das Skalarprodukt zum Quadrat:

P_{ich F} (T) = | ⟨ ψ_{F} | ψ (T) ⟩_{ICH} |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f | \psi(t)\rangle_I|^2$

Somit :

P_{ich F} (T) = | ⟨ ψ_{F} | {\hat{U}}_{ICH} (T, T_{ich}) | ψ_{ich} ⟩ |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f| \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle|^2$

Als Bemerkung ist dies gleich:

P_{ich F} (T) = | ⟨ ψ_{F} | ψ (T) ⟩_{S} |^{2} = | ⟨ ψ_{F} | e^{- ich ({\hat{H}}_{0} + {\hat{v}}_{ich} (T)) T / ℏ} | ψ_{ich} ⟩ |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f| \psi(t) \rangle_S|^2 = |\langle \psi_f|e^{-i(\hat{H}_0+\hat{V}_i(t))t/\hbar}| \psi_i \rangle|^2$

Frage 2

Mit obiger Bemerkung:

P_{ich F} (T) = | ⟨ ψ_{F} | ψ (T) ⟩_{S} |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f| \psi(t) \rangle_S|^2$

P_{ich F} (T) = | ⟨ ψ_{F} | \sum_{N} C_{N} (T) e^{- ich E_{N} T / ℏ} | ψ_{N} ⟩ |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f | \sum_n c_n(t) e^{-iE_nt/\hbar} | \psi_n \rangle|^2$

P_{ich F} (T) = | C_{F} (T) e^{- ich E_{F} T / ℏ} |^{2} = | C_{F} (T) |^{2}

$P_{if}(t) = |c_f(t) e^{-iE_ft/\hbar}|^2 = |c_f(t)|^2$

Danke für deine Antwort. Zwei Fragen: Warum haben Sie $| \psi(t_i) \rangle_{I} = | \psi_i \rangle$ , Ist $|\psi_i \rangle$ kein stationärer Zustand im Shrodinger-Bild? Sollte der äquivalente Zustand im Interaktionsbild nicht sein $| \psi(t_i) \rangle_{I} = e^{\frac{i \hat{H}_{0} t_i}{\hbar}}| \psi_i \rangle$ ?
Auch wenn Sie "die Wahrscheinlichkeit angeben, den Zustand zu messen $| \psi(t) \rangle_{I}$ als $| \psi_{f} \rangle$ ist definitionsgemäß $P_{ich F} (T) = | ⟨ ψ_{F} | ψ (T) ⟩_{ICH} |^{2} "$ $P_{if}(t) = |\langle \psi_f | \psi(t) \rangle_{I}|^2"$ Noch einmal ist $\langle \psi_f |$ kein Staat im Shrodinger-Bild? Gilt die von Ihnen verwendete Born-Regel auch für jedes Bild?
@Alex Ich denke, es folgt aus $|\psi(t)\rangle_I = e^{\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}|\psi_i(t)\rangle_{S} = e^{\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}e^{-\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}|\psi_i \rangle = |\psi_i\rangle$ und alle Postulate gelten für alle Bilder, wie ich es verstehe. Am besten von höherer Stelle bestätigen lassen.
Beantwortung Ihrer ersten Frage: Sie versuchen, die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen zu berechnen $|\psi_i\rangle$ Und $|\psi_f\rangle$ . Daher ist der Anfangszustand, von dem Sie ausgehen, $|\psi_i\rangle$ . Andererseits die Notation $|\psi(t_i)\rangle$ entspricht dem Zustand zum Anfangszeitpunkt $t_i$ . Daher die Gleichheit im Schrödinger-Bild. Als Bemerkung, $|\psi_i\rangle$ ist ein stationärer Zustand des ungestörten Hamiltonschen $\hat{H}_0$ und nicht $\hat{H}(t)$ a priori .
Nun, Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass im Interaktionsbild das Äquivalent von $|\psi_i\rangle$ Ist $e^{i\hat{H}_0 t/\hbar} |\psi_i\rangle$ . Wenn Sie also alles im Interaktionsbild betrachten: $P_{ich F} (T) = |_{ICH} ⟨ ψ_{F} | {\hat{U}}_{ICH} (T, T_{ich}) | ψ_{ich} ⟩_{ICH} |^{2} = | ⟨ ψ_{F} | e^{- ich {\hat{H}}_{0} T / ℏ} {\hat{U}}_{ICH} (T, T_{ich}) e^{ich {\hat{H}}_{0} T_{ich} / ℏ} | ψ_{ich} ⟩ |^{2}$ $P_{if}(t) = |_I\langle \psi_f | \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle_I|^2 = |\langle \psi_f | e^{-i\hat{H}_0 t/\hbar} \hat{U}_I(t,t_i) e^{i\hat{H}_0 t_i/\hbar} | \psi_i \rangle|^2$ $P_{ich F} (T) = | e^{ich (E_{F} T - E_{ich} T_{ich}) / ℏ} ⟨ ψ_{F} | {\hat{U}}_{ICH} (T, T_{ich}) | ψ_{ich} ⟩ |^{2} = | ⟨ ψ_{F} | {\hat{U}}_{ICH} (T, T_{ich}) | ψ_{ich} ⟩ |^{2}$ $P_{if}(t) = | e^{i(E_f t - E_i t_i)/\hbar} \langle \psi_f | \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle|^2 = | \langle \psi_f | \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle|^2$ Dies ergibt das gewünschte Ergebnis.
Damit ist in gewisser Weise auch Ihre zweite Frage beantwortet. In Bezug auf Wahrscheinlichkeiten, dank der Anwesenheit von $| \quad |^2$ , ein Eigenzustand von $\hat{H}_0$ ergibt das gleiche Ergebnis im Schrödinger- und Interaktionsbild. Und schließlich liefern alle unterschiedlichen Bilder (Schrödinger, Heisenberg, Interaktion) die gleichen Ergebnisse, wenn es um die Ableitung von Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerten usw. geht. Das ist wichtig, denn das sind die physikalischen Werte, auf die wir in Experimenten zugreifen können! Sie sollten nicht von dem Bild abhängig sein, mit dem wir die Berechnungen durchführen.
@mhham Ist es dann falsch, wenn JDoe sagt, dass " $|\psi(t)\rangle_I = e^{\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}|\psi_i(t)\rangle_{S} = e^{\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}e^{-\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}|\psi_i \rangle = |\psi_i\rangle$ "?
Die erste von JDoe geschriebene Gleichheit ist leider falsch. In der Tat $|\psi(t)\rangle_I = e^{i\hat{H}_0 t/\hbar}|\psi(t)\rangle_S$ und nicht $|\psi(t)\rangle_I = e^{i\hat{H}_0 t/\hbar}|\psi_i(t)\rangle_S$ . Gleichzeitig gilt die Schrödinger- und Wechselwirkungszustandsbeziehung $t$ für beide nicht $t$ für den Wechselwirkungsterm und $t_i$ für den Schrödinger-Term. Ich hoffe, meine Erklärung ist in Ordnung

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