Was stellen die nicht-diagonalen Elemente der Hamilton-Matrix physikalisch dar?

Eine kurze Frage: Was ist die "physikalische Bedeutung" der nichtdiagonalen Elemente der Hamilton-Matrix? So sieht eine Hamiltonsche Matraix aus:

H ^ = ( E 11 E 12 E 21 E 22 )
Mein Lehrer hat mir so ein Matrixelement gesagt:
E 21 = ⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩
Entsprechend fällt die Übergangsamplitude aus | 1 ⟩ Zu | 2 ⟩ . Ich habe tagelang darüber nachgedacht, aber ich komme einfach nicht dahinter.

Wenn diagonale Einträge vorhanden sind, | 1 ⟩ Und | 2 ⟩ sind keine Eigenzustände, also müssen wir uns Sorgen machen, dass einer in den anderen übergeht. Haben Sie die Tatsache gesehen, dass exp ⁡ ( − ich H ^ T / ℏ ) löst die Schrödinger-Gleichung?
@ConnorBehan Ja! Du hast Recht! Aber ich habe ein anderes Problem: Ich weiß das: E 21 = ⟨ 2 | e X P ( − ich H ^ T / ℏ ) | 1 ⟩ stellen den Übergang Übergangsamplitude dar | 1 ⟩ Zu | 2 ⟩ , Aber ich habe immer noch keine Ahnung, was die Beziehung zwischen ist ⟨ 2 | e X P ( − ich H ^ T / ℏ ) | 1 ⟩ Und ⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩ , darf ich bitte noch mehr tipps von dir haben?
@ConnorBehan Ich habe versucht, die Taylor-Erweiterung zu verwenden, um den Evolutionsoperator zu erweitern, aber es sieht so aus, als ob es seitdem nicht helfen kann | 1 ⟩ ist nicht der Eigenzustand von H ^ wie du schon sagtest, also gibt es sowas nicht ⟨ 2 | ( H ^ ) N | 1 ⟩ = ⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩ N , ich glaube ich kann immer noch nichts dazu sagen :(

Antworten (3)

Denken Sie daran, dass die Bedeutung des Hamilton-Operators in erster Linie darin besteht, dass er Zeitübersetzungen über die Schrödinger-Gleichung erzeugt:

ich ℏ ∂ ∂ T | ψ ( T ) ⟩ = H ^ | ψ ( T ) ⟩
Sie können die Schrödinger-Gleichung eines zeitunabhängigen Hamilton-Operators formal lösen als | ψ ( T ) ⟩ = e − ich H T / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ . Um etwas Intuition zu gewinnen, erweitern Sie die Exponential in Potenzreihen:
| ψ ( T ) ⟩ = | ψ ( 0 ) ⟩ − ich T ℏ H | ψ ( 0 ) ⟩ − T 2 2 ℏ 2 H 2 | ψ ( 0 ) ⟩ + …
Stellen Sie sich nun vor, Ihr System im Zustand zu starten | 1 ⟩ . Dann gilt nach obiger Gleichung, wenn H hat nicht-diagonale Elemente, die den Zustand verbinden | 1 ⟩ zum Staat | 2 ⟩ , dann erzeugt die Schrödinger-Gleichung eine gewisse Amplitude, damit das System zu einem späteren Zeitpunkt im Zustand ist | 2 ⟩ . Die Rate, mit der der Zustand wechselt von | 1 ⟩ Zu | 2 ⟩ wird proportional sein ⟨ 2 | H | 1 ⟩ , zumindest zur ersten Bestellung T . Sie können dies sehen, indem Sie einfach eine Auflösung der Identität verwenden, 1 = | 1 ⟩ ⟨ 1 | + | 2 ⟩ ⟨ 2 | :
| ψ ( T ) ⟩ = | 1 ⟩ − ich T ℏ ( ⟨ 1 | H | 1 ⟩ | 1 ⟩ + ⟨ 2 | H | 1 ⟩ | 2 ⟩ ) + …

Vielen Dank! Ich muss noch eine letzte Sache bestätigen: seit H ^ ist keine Diagonalmatrix (was bedeutet | 1 ⟩ Und | 2 ⟩ ist nicht die Eigenzustände von H ^ ), dies führte zu: So etwas gibt es nicht ⟨ 2 | ( H ^ ) N | 1 ⟩ = [ ⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩ ] N in der Taylor-Entwicklung, also verwenden wir eine Art Annäherung, um das besser zu verstehen, dann bekommen wir schließlich Folgendes:
⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩ ∝ ⟨ 2 | e X P ( − ich H ^ T / ℏ ) | 1 ⟩
Habe ich recht?
Die Annäherung an Stoppen bei N = 1 Ja. ⟨ 2 | H | 1 ⟩ ist nicht buchstäblich die Übergangsamplitude ... nur ihr erster nicht trivialer Term.
@Connor Behan Großartig! Vielen Dank!

Dies ähnelt Zacks Antwort, jedoch auf einer elementareren Ebene.

Sie müssen mit der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung beginnen

ich ℏ D D T | ψ ( T ) ⟩ = H ^ | ψ ( T ) ⟩

Verwenden Sie Ihre gegebene Hamilton-Matrix und schreiben Sie den Zustand | ψ ( T ) ⟩ als Spaltenvektor wird dies

ich ℏ ψ ˙ 1 ( T ) = E 11 ψ 1 ( T ) + E 12 ψ 2 ( T ) ich ℏ ψ ˙ 2 ( T ) = E 21 ψ 1 ( T ) + E 22 ψ 2 ( T ) .

Nehmen wir nun an, das System startet im Status | 1 ⟩ . Das heißt, die Startbedingung ist | ψ ( 0 ) ⟩ = | 1 ⟩ oder

ψ 1 ( 0 ) = 1 ψ 2 ( 0 ) = 0.

Dann die Lösung für klein T Ist

ψ 1 ( T ) = 1 − ich E 11 T ℏ + Ö ( T 2 ) ψ 2 ( T ) = − ich E 21 T ℏ + Ö ( T 2 )

Hier sehen Sie, es ist das Matrixelement E 21 bestimmen, wie schnell die ψ 2 Komponente wächst von Null auf größere Werte.

Die nicht-diagonalen Elemente repräsentieren die "Kopplung" zwischen diesen Basiszuständen. Ich glaube, es ist gleich der Übergangsamplitude innerhalb der Störungsnäherung. Um die nicht-diagonalen Elemente zu verstehen, überlegen Sie, was passieren würde, wenn sie Null wären. Dann ist die diagonale Hamilton-Matrix bereits in den Eigenzuständen des Hamilton-Operators ausgedrückt. H ^ | 1 ⟩ = E 11 | 1 ⟩ Und H ^ | 2 ⟩ = E 22 | 2 ⟩ . Dies geschieht nur, wenn ⟨ 1 | H ^ | 2 ⟩ = 0 . Wenn ⟨ 1 | H ^ | 2 ⟩ ≠ 0 , dann die Staaten | 1 ⟩ Und | 2 ⟩ sind dadurch miteinander gekoppelt H ^ , und die Eigenzustände von H ^ wird eine Überlagerung von sein | 1 ⟩ Und | 2 ⟩ .

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