Ich habe mich gefragt, warum irgendjemand jemals gedacht hat, dass wir eine Erweiterung für die Eigenzustände eines gestörten Hamilton-Operators in Bezug auf die für den Basis-Hamilton-Operator finden könnten. Mein Dozent bestand darauf, dass dies daran lag, dass die Eigenzustände des Hamilton-Operators vollständig sind, jedoch aufgrund meines (begrenzten) Verständnisses der mathematischen Grundlage von QM:
Wenn Sie einen Hamilton-Operator erhalten, kommt er mit dem Hilbert-Raum der Funktionen, von denen er handelt (vorbehaltlich einiger Bedingungen, die wir auferlegen, wie der Lebesgue-Quadrat-Integrierbarkeit von Funktionen).
Wenn Sie einen anderen Hamiltonoperator erhalten, gibt es keine Garantie dafür, dass er auf demselben Hilbert-Raum wirkt
Dass der Hamilton-Operator nullter Ordnung Eigenzustände hat, die eine vollständige Basis für den Raum bilden, auf dem ti wirkt, garantiert daher nicht, dass dieselben Eigenzustände eine vollständige Basis für den Hilbert-Raum bilden, auf dem der purturbierte Hamilton-Operator wirkt.
Als einfaches Beispiel. Ich kann mir vorstellen, einem Hamilton-Operator ein kleines störendes Magnetfeld hinzuzufügen, in dem es anfänglich keines gibt, so dass wir die Entartung in den Eigenzuständen verlieren, die für unterschiedliche Spins eines Teilchens verantwortlich sind. Man könnte sagen, dass wir den gleichen Hilbert-Raum davor und danach haben, aber wir verlieren die Entartung; oder ich wäre versucht gewesen zu sagen, dass unser ursprünglicher Hilbert-Raum diese zusätzlichen Dimensionen, die den Spinzuständen entsprechen, nicht hatte. Anstatt also, dass die Eigenzustände des Basis-Hamilton-Operators auch eine vollständige Basis für den purtubierten Hamilton-Operator bilden, aber eine Eigenwertentartung aufweisen, die bei der Purtubration aufgehoben wird, hätte ich gesagt, dass sich unser Hilbert-Raum geändert hat. Wenn wir schließlich die frühere Ansicht vertreten (dh eine Basis, die Spin berücksichtigt, aber mit Entartung), dann scheint es, als müssten wir für jedes Problem JEDE mögliche Systemeigenschaft kennen und berücksichtigen, die erkannt werden kann. Das erscheint mir nicht sinnvoll....
NOTIZ:
1) Meine Frage wurde hier schon einmal gestellt: Störungstheorie in der Quantenmechanik: Annahmen zu Eigenvektoren
obwohl es nur eine Diskussion und keine abschließende Antwort gibt. Ich sehe, dass die Unterscheidung in der relativistischen QM wichtig ist, und der Fall des Hinzufügens eines Potentials zu einem Hamilton-Operator für freie Teilchen scheint ein besonderer zu sein. Obwohl ich immer noch nicht sicher bin, was die Antwort für allgemeine Purturbationen ist.
2) Ähnliche Frage hier: Natur des gestörten Zustands in der Störungstheorie?
aber es scheint völlig zu vermeiden, die Frage zu beantworten.
Einige potenzielle Fallstricke der Störungstheorie wurden in Referenzen gut beobachtet, z. B. Probleme mit der grundlegenden Behauptung, dass eine „kleine“ Störung einer „kleinen“ Abweichung von den ursprünglichen Eigenvektoren / Eigenwerten entspricht. Schauen Sie sich zum Beispiel Kapitel XII in Reed und Simons Methods of Mathematical Physics, Bd. 4, oder Kapitel 2 von Katos Perturbation Theory for Linear Operators, 2. Aufl. an. Dennoch kann man, wie in diesen Referenzen gezeigt wird, unter einigen starken Annahmen ein regelmäßiges Verhalten finden.
In den Fällen, die man normalerweise in der Störungstheorie untersucht, sind der ursprüngliche und der gestörte Hamiltonoperator so selbstadjungiert, wie man es normalerweise in physikalischen Kontexten behauptet (natürlich ist das Problem der wahren Selbstadjungiertheit von Operatoren ein ständiges Anliegen in der Physik und hat es sicherlich getan wurde in vielen anderen Fragen auf dieser Seite untersucht). Dies gewährt Ihnen Vollständigkeit unter den Annahmen des Spektraltheorems.
In diesem Sinne wäre ich nicht so besorgt wie Sie über Operatoren, die auf verschiedenen Räumen wirken, insbesondere in dem von Ihnen vorgeschlagenen Beispiel zum Zeeman-Effekt. Die Tatsache, dass Sie den Spin vor der Störung ignoriert haben, zeigt einfach, dass Sie die Untersuchung dieser Entartung übersprungen haben. Dieser degenerierte Raum ist nicht besonders krank, da Sie eine orthonormale Basis finden und ohne Probleme Physik betreiben können. Wenn Sie darüber nachdenken, könnten uns andere Entartungen ebenso Sorgen bereiten, die beispielsweise vom Kernspin oder sogar von elektromagnetischen Feldanregungen herrühren. Formalismen wurden entwickelt, um sie einzuschließen, wir beginnen einfach damit, uns auf einen einfacheren Unterraum zu konzentrieren. Letztendlich, sobald wir schreiben , nehmen wir implizit an, dass sie alle auf demselben Hilbert-Raum wirken. Experimentell öffnet die Störung nur ein Fenster zu einem Unterraum, den wir zuvor ignoriert hatten.
Lewis Miller