Haben Systeme mit Bahnübergängen instabile Eigenbasen?

Nein, die Eigenbasis ist nicht instabil, wenn sich der Hamilton-Operator dem Zeitpunkt des Niveauübergangs nähert, und dies kann durch Berücksichtigung einer adiabatischen Näherung gesehen werden, die die beiden Energieniveaus des Überganges vom Rest entkoppelt$\def\ket#1{|#1\rangle}\def\bra#1{\langle#1|}.$

Wie man glauben könnte, die Eigenbasis sei instabil

Überlegen Sie zunächst, warum man denken könnte, dass die Eigenvektoren von Natur aus instabil sind. Lassen$\ket{E_0}, \ket{E_1}$sei der$E_0$-Eigenvektor und$E_1$-Eigenvektor bzw. lassen$R: \mathbb C^2 \to \mathcal H$eine Operatorabbildung sein$\ket0 \mapsto \ket{E_0}$Und$\ket{1} \mapsto \ket{E_1}$bzw. Die Änderungsrate von$R$, könnte man sich vorstellen, bezieht sich direkt darauf, wie schnell sich die Eigenzustände ändern:

$$\ket{\dot E_j} = \tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Bigl[ R \ket{j} \Bigr] = \dot R \ket{j} .$$ Beachten Sie das, weil $R^\dagger R = 1$konstruktionsbedingt haben wir $$0 = \tfrac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl[ R^\dagger R \Bigr] = \dot R^\dagger R + R^\dagger \dot R ,$$ was das impliziert $R^\dagger \dot R$ist antihermitesch. Um die Änderungsrate von zu erhalten $R$, berücksichtigen Sie die Tatsache, dass $$H = R D R^\dagger$$ für $D = \mathrm{diag}(E_0,E_1)$, so dass $$\dot H = \dot R D R^\dagger + R \dot D R^\dagger + R D \dot R^\dagger ,$$ was impliziert, dass für verschieden $j,k \in \{0,1\}$, $$\begin{aligned}[b] \bra{E_j} \dot H \ket{E_k} &= \bra{E_j} \dot R D \ket{k} + \bra{j} \dot D \ket{k} + \bra{j} D \dot R^\dagger \ket{E_k} \\&=E_k \bra{j}R^\dagger \dot R \ket{k} + E_j \bra{j} \dot R^\dagger R \ket{k} \\&=(E_k - E_j) \bra{j} R^\dagger \dot R \ket{k} \\&=(E_k - E_j) \bra{E_j} \dot R R^\dagger \ket{E_k}. \end{aligned}$$ Dies scheint zu implizieren, dass wenn $E_j - E_k$verschwindet, dann ist die Operatornorm von $\dot R R^\dagger$(und damit von $\dot R$selbst) erhöht sich ohne Bindung, es sei denn, die Cross-Terms von $\dot H$im $\ket{E_j}$-Basis ebenfalls verschwinden.

Eine Beobachtung, die richtungsweisend ist

Die Schlüsselfrage bei der Betrachtung der Crossterms für$\dot H$im$\ket{E_j}$-Basis ist: Wie bestimmt man zunächst diese Basis, um die Kreuzbegriffe zu bewerten? Ohne in der Lage zu sein, die Eigenzustände für Zeiten nahe der Kreuzung aufzulösen, bleibt uns nur die Zeit der Kreuzung selbst – und entscheidend ist, dass der Eigenraum dort entartet ist, was bedeutet, dass es nicht funktioniert, nur weil wir eine Eigenbasis im Sinn haben es die physikalisch sinnvolle Wahl.

Meine ursprüngliche Vermutung (in einer früheren Bearbeitung der Frage) betraf den Projektor nicht$\Pi$auf zu$\mathrm{span}\{\ket{E_0},\ket{E_1}\}$. Aber später fiel mir auf, dass es egal ist, ob oder nicht$\dot H$kann nicht mit pendeln$H$wenn dies daran liegt, dass einige der anderen Eigenzustände von$H$sind keine Eigenzustände von$\dot H$. Entscheidend ist, ob$\dot H$scheitert, für die beiden sich kreuzenden Eigenwerte allein (sozusagen), zu kommutieren$H$. Was uns also wirklich interessiert, ist nur der Unterraum, der aufgespannt wird$\ket{E_0}$Und$\ket{E_1}$, was zur Modifikation der Vermutung mit dem Projektor führt$\Pi$. Aber zum Zeitpunkt der Überfahrt,$\Pi H = E_0 \Pi$gerade dadurch: im Unterraum ist es proportional zur Identität, die mit allem pendelt. So werden wir haben

$$0 = [H, \Pi \dot H] = H \Pi \dot H - \Pi \dot H H = \Pi [H, \dot H].$$ Das heißt, die Bedingungen der Vermutung werden immer gelten, was darauf hindeuten sollte, dass die Sorge um nichts geht.

Adiabatische Restriktion: eine Skizze

Wenn die anderen Eigenwerte von$H$sind davon abgegrenzt$E_0$Und$E_1$durch eine Konstante in der Nähe der Kreuzung, stört uns nicht wirklich in dem Ausmaß$\ket{\dot E_j}$für$j \in \{0,1\}$überlappt die anderen Eigenvektoren von$H$: Durch die obige Analyse erwarten wir, dass sie dies um einen endlichen Betrag tun. Uns interessiert eigentlich nur die Größenordnung$\bra{E_j} \dot H \ket{E_k}$. Wir können unsere Aufmerksamkeit also vollständig auf die effektive Kopplung von beschränken$\ket{E_0}$Und$\ket{E_1}$von$\dot H$, was bedeutet, dass wir tatsächlich ersetzen können$\dot H$mit$\Delta = \Pi \dot H \Pi$.

Nachdem wir dies getan haben, haben wir nun tatsächlich einen hermiteschen Operator$\Delta$auf einem zweidimensionalen Unterraum, der offensichtlich zwei Eigenvektoren hat, die den Raum überspannen. Dies sind die beiden gemeinsamen Eigenvektoren$\ket{\delta_0}, \ket{\delta_1}$von$\dot H$Und$H$am Bahnübergang, und die Cross-Begriffe von$\dot H$zwischen diesen beiden Vektoren wird in der Nähe des Bahnübergangs Null sein.

Die beiden Vektoren$\ket{\delta_0},\ket{\delta_1}$dürfen keine Eigenvektoren von sein$\dot H$, aber sie lassen uns das sehen$R^\dagger \dot R$kann eine begrenzte Operatornorm in einer Nachbarschaft der Zeit haben$T$des Bahnübergangs, wenn beschränkt auf$\mathrm{span} \{ \ket{E_0}, \ket{E_1} \}$, Wenn$\ket{E_0} = \ket{\delta_0}$Und$\ket{E_1} = \ket{\delta_1}$zum Zeitpunkt$T$. Für$t$in der Nähe zu$T$, würde ein adiabatisches Argument darauf hindeuten$\ket{E_0}$Und$\ket{E_1}$wird meistens nicht mit den anderen Energie-Eigenzuständen interagieren, wenn die Evolution langsam genug ist, so dass wir erwarten$\ket{\delta_0}, \ket{\delta_1}$fast Eigenvektoren von sein$H$für$t \approx T$. Die Frage ist, wie schnell$\ket{E_j}$konvergiert zu$\ket{\delta_j}$, die bestimmt, wie schnell die Crossterms$\bra{E_j} \dot H \ket{E_k}$verschwinden; jedoch würden große Kreuzterme großen Eigenwerten von entsprechen$\Delta \propto \Pi H \Pi + \text{const.}$, was bewirken soll$R^\dagger \dot R$um schnell zu einer Operatordiagonalen in der zu konvergieren$\ket{\delta_j}$-Basis.

Die Koeffizienten von$R^\dagger \dot R$für den anderen Energieniveaus in der Energieeigenbasis sollten entweder aufgrund von Eigenwertlücken zwischen ihnen oder aus ähnlichen Gründen begrenzt werden, wenn sie eigene Niveauübergänge aufweisen.

Also nein: Es sollte keine Instabilität der Eigenbasis geben.