Warum brauchen wir sowohl den Hamilton- als auch den Hilbert-Raum, um ein Quantensystem zu spezifizieren?

Nach meinem Verständnis können wir, wenn wir den Hamilton-Operator haben, im Prinzip die Eigenzustände für unser interessierendes System kennen. Dann können wir alles berechnen, was wir wollen.

Außerdem werden diese Eigenzustände einen Hilbert-Raum unseres Quantensystems bilden. Es scheint, dass es ausreicht, Hamiltonian zu haben, um ein Quantensystem zu spezifizieren.

Es gibt jedoch einige Lehrbücher, die erwähnen, dass wir sowohl den Hamilton- als auch den Hilbert-Raum benötigen, um ein Quantensystem zu spezifizieren.

Warum brauchen wir wirklich den Hilbert-Raum, um unser Quantensystem zu spezifizieren?

Dies scheint ein bisschen der Frage zu ähneln, warum wir Vektorräume brauchen, wenn wir Newtons Gesetze haben ... es ist wichtig, um die Theorie zu entwickeln und Sinn daraus zu machen
Ein Hamilton-Operator in der Quantenmechanik ist ein Operator auf einem Hilbert-Raum, normalerweise unbeschränkt, aber selbstadjungiert. Wie können Sie einen Hamiltonoperator haben, wenn Sie nicht wissen, wo er wirkt? Nehmen wir zum Beispiel an, dass H ist der Operator, der jeden Vektor um den positiven Betrag dehnt λ . Wie würden Sie darstellen H als Matrix? Ist es 2x2, 3x3, 147x147?
Wie Phoenix87 sagt, macht diese Frage keinen Sinn - Sie können einen Operator nicht angeben, ohne den Raum anzugeben, auf den er wirkt; Einen Hamilton-Operator ohne Hilbert-Platz zu geben, macht einfach keinen Sinn.

Antworten (2)

Es gibt einen mathematischen Grund und einen (Art) physikalischen Grund:

Mathematischer Grund: Der Hamiltonoperator ist zunächst ein Operator auf einem Hilbertraum. Ohne einen Hilbert-Raum zu kennen, macht es nicht einmal Sinn, von einem Operator darauf zu sprechen.

Physikalischer Grund (sozusagen): Was wie der gleiche Hamiltonoperator aussieht, zB der freie Teilchen-Hamiltonoperator H = P 2 2 M , kann in verschiedenen Hilbert-Räumen sinnvoll interpretiert werden. Beispielsweise könnte sich das Teilchen in einem unbegrenzten Raum bewegen R N oder ein begrenzter Raum wie der Torus ( R N / Z N ). Dies macht einen beobachtbaren Unterschied: Die Eigenenergien des Hamilton-Operators werden in den beiden Fällen unterschiedlich sein (das Spektrum ist kontinuierlich für R N und diskret für den Torus).

(Der Grund, warum ich sage, dass das zweite Problem "irgendwie" ein physikalisches Problem ist, ist, dass der oben angegebene mathematische Grund dieses Problem tatsächlich beseitigt: Um streng zu sein, sollten Sie immer zuerst einen Hilbert-Raum und dann einen Hamilton-Raum angeben, und Sie werden es nie tun." Unklarheiten wie ob das Spektrum diskret oder kontinuierlich ist.)

Es tut mir leid, dass ich meine Frage nicht näher spezifiziert habe. Erstens stimme ich zu, dass wir zuerst den Hilbert-Raum haben sollten und er bildet die grundlegende mathematische Struktur unseres Quantensystems. Was ich fragen möchte, ist, ob unsere Entscheidung über den Hilbert-Raum irgendetwas beeinflussen wird. Genau das erwähnst du in deiner körperlichen Vernunft. Ich verstehe jedoch nicht ganz, was Sie mit unterschiedlichen Eigenenergien für eine unterschiedliche Wahl des Hilbert-Raums meinen. Solange wir einen Hamiltonoperator haben, sind die Eigenenergien schon entschieden, richtig? Wir haben auch Eigenvektoren, aber diese Vektoren werden durch unterschiedliche Zustandsvektoren dargestellt.
Aufgrund unterschiedlicher Wahl des Hilbertraums. Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege. Danke schön.
@Wei-TingKuo Vielleicht ist der Operator ein einfacheres Beispiel zur Veranschaulichung X . Wenn der zugrunde liegende Hilbert-Raum Zustände hat, die weiterleben R , Dann X kann einen beliebigen Eigenwert von haben − ∞ Zu + ∞ . Wenn die Zustände auf dem Einheitsintervall leben [ 0 , 1 ] , Dann X kann nur Eigenwerte von 0 bis 1 haben. Für den oben genannten Fall H = P 2 / 2 M , passiert etwas ähnliches. Über die unbegrenzte Domäne, H hat alle positiven reellen Zahlen als Eigenwerte. Über den beschränkten Bereich werden die Eigenwerte von H sind diskret. Der letztere Fall ist im Wesentlichen ein quadratischer Brunnen.
Okay. Die Domäne des Hilbert-Raums hängt also vom Hamilton-Operator ab, richtig? Wie der Fall der freien Teilchen. Der Hamilton-Operator des quadratischen Brunnens ist nur innerhalb des Brunnens physikalisch (außerhalb des Brunnens explodiert der Hamilton-Operator, was unphysikalisch ist). Daher ist die Hilbert-Raumdomäne beschränkt. Was ich hier sagen möchte, hat es einen physikalischen Unterschied, wenn wir verschiedene Hilbert-Räume für denselben Hamilton-Operator definieren (er kann begrenzt oder unbegrenzt sein)? Danke schön.
Diese Frage stammt aus dem Lehrbuch „Quantum Field Theory of Many-body Systems“ von Professor Xiao-Gang Wen. In diesem Lehrbuch erwähnt er, dass der Unterschied zwischen Eichmaß und Symmetrie davon abhängt, wie wir den Hilbert-Raum definieren. Bedeutet dies auch, dass das einzige Prinzip für uns, unseren Hilbert-Raum anzupassen, auf der Symmetrie in unserem Hamilton-Operator basiert?
@Wei-TingKuo Zuerst (und beste Antwort): Es gibt keine "verschiedenen Hilbert-Räume für denselben Hamiltonian". Dies ist die richtige mathematische Perspektive. Ein Hamilton-Operator ist ein Operator auf einem bestimmten Hilbert-Raum, einer Periode, und er hat keine Bedeutung für einen anderen Hilbert-Raum. (Eine äquivalente Art, darüber nachzudenken, ist, dass der Hamiltonian Zeitübersetzungen für einen bestimmten Hilbert-Raum generiert und keine Auswirkungen auf andere Hilbert-Raum hat.) Siehe nächster Kommentar für eine weitere Antwort.
@Wei-TingKuo Es kann jedoch nützliche Möglichkeiten geben, Hamiltonianer für verschiedene Hilbert-Räume zu identifizieren. Das ist das Beispiel, das ich oben gegeben habe. Ein trivialeres Beispiel ist die Beziehung zwischen freien Teilchensystemen in verschiedenen Dimensionen. H = P 2 / 2 M macht in beliebig vielen Dimensionen Sinn, 1, 2, 3, ..., aber diese Fälle sind offensichtlich physikalisch sehr unterschiedlich. Sie haben sogar unterschiedliche Symmetrien (O(N), für N=Dimension des Raumes).
@Wei-TingKuo Ich bin mir nicht sicher, worauf sich das Lehrbuch bezieht. Eine mögliche Bedeutung ist, dass wir durch Eichfixierung eine äquivalente Beschreibung eines Systems mit Eichsymmetrie geben können. Das eichfeste System kann durch einen anderen Hilbert-Raum (oder auch eine Fläche innerhalb eines Hilbert-Raums) darstellbar sein. Das eichfeste System & Hilbert-Raum hat nicht mehr die ursprüngliche Eichsymmetrie. Genau genommen hat es auch einen anderen Hamilton-Operator (im oben genannten Sinne), obwohl sein Hamilton-Operator offensichtlich den gleichen physikalischen Inhalt hat wie der des ursprünglichen Systems (ohne Eichfixierung)
Zustimmen! Also überzeugend. Ihre Antwort ist großartig. Danke für deine Geduld und klare Erklärung. Ich habe es.
@Wei-TingKuo Außerdem denken Sie in Ihrem obigen Kommentar an einen quadratischen Brunnen, der auf dem Hilbert-Raum der Funktionen über die gesamte reale Linie definiert ist, wobei ein Potenzial auch auf der gesamten realen Linie definiert ist, die außerhalb von unendlich groß ist eine endliche Reichweite. Ein alternativer (mathematisch fundierterer) Weg, den quadratischen Brunnen zu betrachten, besteht darin, ihn auf einem völlig anderen Hilbert-Raum zu definieren: Periodische Funktionen oder Funktionen eines Intervalls. Dann ist das Potential auf diesem Raum einheitlich Null, und der Hamilton-Operator ist genau der "freie Teilchen-Hamilton-Operator", nur auf einem anderen Hilbert-Raum.
@Wei-TingKuo Vielleicht finden Sie auch den Wikipedia-Artikel über "Teilchen in einem Ring" aufschlussreich.

Sowohl der Hilbert-Raum als auch der Hamilton-Operator werden benötigt, aber es gibt eine Dualität zwischen dem Hilbert-Raum und dem Hamilton-Operator. Je allgemeiner man die Beschreibung des Systems macht und je größer somit der Hilbert-Raum wird, desto einfacher wird der Hamilton-Operator.

Betrachten wir zB den Hamiltonian, der ein einfaches Molekül lebendiges H2O beschreibt. Dies ist ein äußerst komplexer Hamiltonoperator, er enthält alle Wechselwirkungen zwischen allen Elektronen in diesem Molekül. Dieser Hamiltonoperator gilt jedoch nur für Zustände, in denen die richtige Anzahl von Elektronen und Kernen vorhanden ist. Angenommen, wir betrachten einen größeren Hilbert-Raum und einen allgemeineren Hamilton-Operator. Beispielsweise kann der Hamiltonoperator des Standardmodells Systeme beschreiben, die einen größeren Hilbert-Raum benötigen, um spezifiziert zu werden. Dieser Hamiltonoperator ist viel einfacher zu spezifizieren als der Hamiltonoperator eines H2O-Moleküls, aber Sie benötigen jetzt mehr Informationen, um einen Zustand von H2O in dem größeren Hilbert-Raum zu spezifizieren, den das Standardmodell beschreibt.

Danke für deine Antwort. Was mich an Ihrer Erklärung verwirrt, ist die Bedeutung von "allgemeiner". Meinen Sie damit, dass wir im allgemeineren Hamiltonian weniger Freiheitsgrade haben? Danke
@Wei-TingKuo Ja, dies setzt voraus, dass Sie es mit den bekannten Gesetzen der Physik zu tun haben, nicht mit einem künstlichen Modell. Die Grundgesetze sind einfach zu formulieren, wenn man ein gegebenes System betrachtet, dessen Freiheitsgrade bis auf wenige meist „eingefroren“ sind, dann werden die wenigen verbleibenden Freiheitsgrade durch einen effektiven Hamiltonoperator beschrieben, der extrem sein kann Komplex.
Warum brauchen wir sowohl den Hamilton- als auch den Hilbert-Raum, um ein Quantensystem zu spezifizieren?
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