Außerdiagonale Elemente der Hamilton-Matrix H12H12H_{12} & H21H21H_{21}: Energie des Übergangs von |1⟩|1⟩|1\rangle nach |2⟩|2⟩|2\rangle oder Amplitude des Übergangs?

$\newcommand{\k}[1]{\left| #1 \right\rangle} \newcommand{\dd}[1]{\frac{d #1}{dt}}$In einer Hamilton-Matrix wie dieser:

Feynman nannte diese Elemente in seinen Vorlesungen immer die Amplitude , von der aus man sich bewegt$\k1$zu$\k2$& und umgekehrt.

$\bullet$ 1. Referenz :

Das Ammoniakmolekül hat ein Stickstoffatom und drei Wasserstoffatome, die sich in einer Ebene unter dem Stickstoff befinden, so dass das Molekül die Form einer Pyramide hat[...]Wir werden sagen, dass sich das Molekül im Zustand befindet$|1⟩$wenn der Stickstoff „ oben “ ist und sich im Zustand befindet$|2⟩$wenn der stickstoff „ down “ ist ,[...]

$$iℏ\dd{C_1}=H_{11}C_1\;\;,\;\;iℏ\dd{C_2}=H_{22}C_2.$$ Wir können diese beiden Gleichungen leicht lösen; wir bekommen $$C_1=(\text{const})e^{−(i/ℏ)H_{11}t}\;\;,\;\;C_2=(\text{const})e^{−(i/ℏ)H_{22}t}.$$ Dies sind nur die Amplituden für stationäre Zustände mit den Energien$E_1=H_{11}$und$E_2=H_{22}.$Es stellt sich heraus, dass es dem Stickstoff möglich ist, sich seinen Weg durch die drei Wasserstoffatome zu bahnen und auf die andere Seite zu kippen. Es gibt daher eine kleine Amplitude , in der ein Molekül beginnt$|1⟩$wird an den Staat gelangen$|2⟩.$Die Koeffizienten$H_{12}$und$H_{21}$sind nicht wirklich null. Aus Symmetriegründen sollten sie beide gleich sein – zumindest in der Größe. Tatsächlich wissen wir bereits, dass im Allgemeinen$H_{ij}$muss gleich dem komplex Konjugierten von sein$H_{ji}$, können sich also nur um eine Phase unterscheiden. Es zeigt sich, wie Sie sehen werden, dass es keinen Verlust an Allgemeingültigkeit gibt, wenn wir sie einander gleichsetzen. Der Einfachheit halber setzen wir sie gleich einer negativen Zahl; wir nehmen$H_{12}=H_{21}=−A.$

$\bullet$ 2. Referenz :

[...]Wenn wir nicht die Möglichkeit berücksichtigt hätten, dass der Stickstoff hin und her kippt , hätten wir genommen$A$gleich Null und die beiden Energieniveaus würden bei Energie übereinander liegen$E_0.$

$\bullet$ 3. Referenz :

Solange die beiden Protonen des Wasserstoffmolekül-Ions weit voneinander entfernt sind, braucht es immer noch ungefähr so ​​viel Energie – was für unsere gegenwärtigen Überlegungen sehr viel Energie ist –, um das Elektron irgendwo in die Nähe des Mittelpunkts zwischen den Protonen zu bringen. Es ist also klassischerweise unmöglich, dass das Elektron von einem Proton zum anderen springt. In der Quantenmechanik ist es jedoch möglich – wenn auch nicht sehr wahrscheinlich. Es gibt eine kleine Amplitude für das Elektron, um sich von einem Proton zum anderen zu bewegen. In erster Näherung also jeder unserer Basiszustände$|1⟩$und$|2⟩$wird die Energie haben$E_0$, das ist nur die Energie eines Wasserstoffatoms plus eines Protons. Wir können die Hamilton-Matrix-Elemente nehmen$H_{11}$und$H_{22}$sind beide ungefähr gleich$E_0.$Die anderen Matrixelemente $H_{12}$und$H_{21}$, das sind die Amplituden, mit denen das Elektron hin und her geht, schreiben wir wieder als$−A.$

$\bullet$ 4. Referenz :

Jetzt die Amplitude$A$dass ein Elektron, das sich in der Nähe eines Protons befindet, zum anderen gelangt, hängt vom Abstand zwischen den Protonen ab. Je näher die Protonen zusammen sind, desto größer ist die Amplitude.

Feynman überlegt also immer$H_{12}$und$H_{21}$als Amplitude für den Übergang. Obwohl ich nicht anrufen würde$H$hier ein Operator, sondern ein Generator der Übersetzung der Zeit , aber es ist nicht die Energie des Übergangs.

Aber warum sind sie keine Energie des Übergangs ? Schließlich sind sie die Elemente der Hamiltonschen Matrix, nicht wahr?

Ich habe dasselbe in meiner vorherigen Anfrage gefragt und Folgendes erhalten :

Ist$A$die Energie zu gehen$|1⟩$zu$|2⟩$? Ist es die Amplitude zu gehen$|1⟩$zu$|2⟩$? Ich verstehe das nicht, da Feynman es als Amplitude bezeichnet, aber da es ein Element der Hamilton-Matrix ist, sollte es die Energie sein, von der ausgegangen werden soll$|1⟩$zu$|2⟩$wie$H_{11}$die Energie von sein$|1⟩.$Also ist$H_{ij}$die Energie oder die Amplitude, von der ausgegangen werden soll$|1⟩$oder$|2⟩$? – Benutzer36790

@ user36790 Es hat Energieeinheiten, aber es ist ein Ausdruck außerhalb der Diagonale im Hamiltonian, also repräsentiert es nicht die Energie eines Zustands. Ich würde es eine Amplitude oder eine Kopplung nennen. – Zeldredge

Aus der Antwort konnte ich erkennen, dass Elemente außerhalb der Diagonale keine Energie des Übergangs sind .

Aber was sind die Energien stationärer Zustände? Sie sind:$E_0-A$&$E_0 +A;$wenn$-A$ist nicht die Energie des Übergangs , wie könnte sie zur Energie des stationären Zustands beitragen:$E_0 \pm A$? Ich verstehe das nicht.$-A$ist der Generator der Zeitentwicklung für den Übergang von$\k 1$zu$\k 2$, wie könnte es dann als Teil der Energien in den stationären Zuständen angesehen werden? Außerdem würde ich wissen wollen, warum Elemente außerhalb der Diagonale keine Energie darstellen. Kann das bitte jemand erklären?