Quantenzustand erweitert in Basis oder nur Orthonormalmenge

Betrachten Sie einen Quantenzustand | ψ ⟩ . Es kann im Formular erweitert werden

| ψ ⟩ = ∑ ich C ich | ϕ ich ⟩ ,
wo die Vektoren | ϕ ich ⟩ bilden eine orthonormale Basis. Meine Frage ist, ob mein Hilbertraum nicht unbedingt trennbar ist, mach das | ϕ ich ⟩ 's müssen eine Basis (im Sinne von Vollständigkeit) sein, damit die Erweiterung gilt, oder reicht es aus, wenn sie ein orthonormales System sind?

Genug für was?
@ jacob1729 Ich habe meine Frage bearbeitet, um genauer zu sein, was ich frage
sicherlich muss es vollständig (oder übervollständig) sein. Sie müssen nicht orthogonal sein.
Ist das nicht genau das, was das Wort vollständig bedeutet? Wenn es nicht vollständig ist, nehmen Sie es ψ ∈ H ∖ Spanne ( | ϕ ich ⟩ ) (durch Annahme nicht leer), dann erhalten Sie einen Vektor, der nicht zerlegt werden kann.
Trennbarkeit und Existenz orthonormaler Basen sind voneinander unabhängige Konzepte.

Antworten (1)

Wenn B wären eine Grundlage, wir hätten S P A N ( B ) = H was bedeutet, dass jedes Element des Hilbert-Raums eine endliche Linearkombination von Vektoren aus ist B .

Normalerweise in der Quantenmechanik, S P A N ( B ) ist nur dicht drin H . Das bedeutet, dass wir, um ein beliebiges Element zu erhalten, im Allgemeinen eine unendliche Linearkombination benötigen.

In diesem Sinne ist das, was die meisten Lehrbücher als "orthonormale Basis" bezeichnen, streng genommen keine Basis. Ich persönlich habe in der Quantenmechanik noch nie eine Situation gesehen, in der es wünschenswert wäre, eine echte Basis dafür zu haben L 2 ( R D ) . Eine solche Basis müsste sehr groß sein. Und insbesondere wäre es nicht möglich, seine Elemente als zu schreiben | ϕ ich ⟩ .

Nebenbei, für einige Banach-Räume wie L 1 Und L ∞ , ist es schwierig genug, eine Basis zu finden, dass es darauf ankommt, ob Sie das Axiom der Wahl akzeptieren.

Die meisten Bücher über Quantenmechanik, die ich gelesen habe, erfordern nur die | ϕ > soll ein orthonormales System sein, soweit ich es verstanden habe. Ich habe mich nur gefragt, wie konsequent es ist anzunehmen, dass die Erweiterung hält.
Quantenzustand erweitert in Basis oder nur Orthonormalmenge
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v