Was bedeutet es, einen Operator auf einen Zustand anzuwenden?

Es scheint, dass sich die Frage von OP stellt, weil er davon ausgeht, dass es sich um einen Zustand handelt$|\psi\rangle$ist normalisiert $\langle\psi |\psi\rangle=1$in allen Stadien der Entwicklung der quantenmechanischen Sprache.

Lassen$H$ein Hilbertraum sein. Beachten Sie, dass der Satz

Es ist besser, nur davon auszugehen, dass ein Zustand$|\psi\rangle$ist nur normalisierbar

mit der impliziten Annahme, dass man normalisieren sollte, wenn man eine probabilistische Interpretation will $|\psi\rangle$über das Standardverfahren:

damit

Um also die Frage von OP zu beantworten, in der Grundversion$^1$In der Quantenmechanik ist ein Zustand ein (Ket-)Element$|\psi\rangle$des Hilbertraums$H$. Insbesondere ist es ein normalisierbares Element. Eine Observable ist ein linearer hermitescher Operator$\hat{A}:H\to H$das bringt Staaten zu Staaten. Der Erwartungswert $\langle\hat{A}\rangle$des Beobachtbaren$\hat{A}$im Staat$|\psi\rangle$ist dann

Bezüglich der Teilfrage zu Messungen in der Quantenmechanik und zum Kollaps der Wellenfunktion schlage ich vor, zuerst Wikipedia zu konsultieren und dann gegebenenfalls eine spezifischere Frage zu stellen.

--

$^1$Die Art von Version, die nicht normalisierbare Zustände und unbegrenzte lineare Operatoren ignoriert .

Ihr Versuch, einen Zustandsvektor zusammenzufassen, indem Sie ihm eine Bedeutung des täglichen Lebens beimessen, ist wahrscheinlich ein Grund, warum Sie die abstraktere Situation, die im QM vorherrscht, nicht verstehen können.

$A|\psi\rangle$ist einfach das Bild des Vektors$|\psi\rangle$unter dem Betreiber$A$. Das ist auch nicht nötig$|\psi\rangle$oder sein Bild ist ein Zustand im Sinne von Normalisierung. Sie sind nur Elemente des Hilbert-Raums (oder manchmal nicht normalisierbare schwache Grenzen solcher Zustände).

Es besteht auch kein notwendiger Bezug zur Messung. Die Interpretation realistischer Messungen ist eine ziemlich komplexe Angelegenheit, und das Lehrbuchrezept (Bornsche Regel) ist nur auf die einfachsten oder sehr idealisierten Situationen anwendbar.

Ich denke, Sie könnten von dem Konzept, das wir assoziieren, fehlgeleitet werden$\textbf{observables}$zu selbstadjungierten Operatoren. Sie operieren zwar im Hilbert-Raum, aber sie als Entitäten zu sehen, die Zustände transformieren oder vorbereiten, ist ein bisschen schwierig. Ich werde hier selbstadjungierte Operatoren und die Vorbereitung von Zuständen beschreiben.

1) Die wahre (physikalische) Kraft selbstadjungierter Operatoren zur Beschreibung von Observablen liegt im Spektralsatz und nicht in seinem$\psi \mapsto A\psi$Handlung. Physikalisch, was bedeutet es? Es gibt eine Menge, die als Spektrum einer Observablen bezeichnet wird, und es ist die Menge möglicher Ergebnisse auf ihrem Maß für gegebene Zustände. Zum Beispiel eine beobachtbare Drehung$S$auf einem 1/2-Spin-System hat ein Spektrum$\sigma(S) = \{-1/2,+1/2\}$, und zerfällt als Summe seiner spektralen Projektionen,$S = +1/2 P_{+} -1/2 P_{-}$. Im Allgemeinen liegt eine spektrale Auflösung vor$E$, das heißt, eine Reihe von Projektionen, die sich auf das Spektrum beziehen, sodass der Operator geschrieben werden kann als$A = \int_{\sigma(A)}\lambda dE(\lambda)$.

Und was sind die spektralen Projektionen? Das sind wieder (selbstadjungierte) Operatoren, aber die ganze Sammlung von Spektralprojektionen gibt Ihnen ein Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie mit einem Zustand gekoppelt ist. Im Beispiel des Spin-Systems, wenn Sie einen Zustand einnehmen$\psi$, dann$\langle\psi, P_+\psi\rangle$würde Ihnen die Wahrscheinlichkeit geben, einen Spin von +1/2 zu messen, und ebenso für -1/2.

Nehmen wir nun an, Sie hätten ein 1/2-Spin-System mit vorbereitetem Zustand$\psi$, und Sie messen den Spin und erhalten +1/2. Nach der Messung bricht Ihr Zustand auf ein ein$|+1/2\rangle$Zustand.

Nehmen wir in einem detaillierteren Formalismus an, Sie haben einen Zustand vorbereitet$\psi$und Sie werden eine Messung einer beobachtbaren Größe vornehmen, ausgedrückt als$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dE(\lambda)$(bei dem die$E$die spektrale Auflösung Ihres Operators ist, denken Sie einfach intuitiv an das 1/2-Spin-Beispiel). Nehmen Sie dann an, Ihre Messung bezieht sich auf eine Teilmenge$\Lambda \subset \sigma(A)$(Sie denken vielleicht an das Set$\{+1/2\} \subset \{-1/2,+1/2\}$. Ihr Zustand$\psi$bricht dann in den folgenden Zustand zusammen$\phi$:

$\psi \rightarrow \phi = \frac{E(\Lambda)\psi}{\|E(\Lambda)\psi\|}.$

(beachte das$\phi$ist normalisiert und wohldefiniert, da$E(\Lambda)\psi=0$dann die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis in ist$\Lambda$wäre zu Beginn null).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie einen selbstadjungierten Operator nicht einfach auf einen Zustand anwenden, da er, wie Sie gesehen haben, nicht viel Bedeutung hat. Dies ist ein Punkt, den die meisten einführenden QM-Bücher nicht so stark betonen, wie ich es gerne hätte. Was mit Messungen und Zusammenbrüchen und was auch immer passiert, nutzt, wie ich zu sagen versuchte, die spektralen Projektionen mehr als den Operator selbst. Wie Sie also über Ihren Hamilton-Operator gesagt haben, verhält er sich nicht wie Ihre Sirupmaschine, die wir als nächstes zu vertuschen versuchen werden.

2) Nun, was Sie als "Werkzeuge" bezeichnen, in Ihrem Beispiel der Sirup, ist keine Messung an sich, sondern eine Vorbereitung von Zuständen, die einen Zustand ohne Sirup ergreifen und Sirup hineingeben würden. Die Modellierung solcher Verfahren wird, zumindest meines Wissens nach, normalerweise ignoriert.

Eine Möglichkeit wäre, einfach zu sagen: „Mein Zustand ist jetzt syrup“, Ende der Diskussion.

Eine andere Option ist die Verwendung einheitlicher Operatoren ($U$so dass$UU^* = U^*U = 1$). Diese transformieren Zustandsvektoren in Zustandsvektoren.

Wenn Sie anspruchsvollere Beispiele wünschen, wird es schwierig, und ich werde die Klappe halten, bevor ich etwas sehr Falsches dazu sage. Aber seien Sie versichert, dass dies überhaupt nicht einfach ist, und Ihre Frage ist wirklich nett. Ich hoffe, einige andere inspirierende Antworten zu sehen.

Ein wirklich cooles Beispiel kam auf, als ein Freund von mir und ich über ein Spin-1/2-System diskutierten. Ich hatte einige Probleme und es stellt sich heraus, dass genau das gleiche Missverständnis, mit dem dieses Thema begonnen hat, mich zu wirklich seltsamen Ergebnissen geführt hat:

ich werde schreiben$S_x, S_y$und$S_z$für die kanonischen Komponenten des Spin-Operators und$|S_i; \pm\rangle$für seine Eigenvektoren, dh$S_y \lvert S_y; -\rangle = -\frac{\hbar}{2}\lvert S_y; -\rangle$. Der Kürze halber schreiben wir$\lvert \pm \rangle = \lvert S_z; \pm\rangle$

Zum späteren Nachschlagen erinnern wir uns

Okay, das dachte ich mir:

Angenommen, wir haben ein Elektron, das sich definitiv im Zustand befindet$\lvert + \rangle$(Vielleicht haben wir es aus einem Stern-Gerlach-Experiment bekommen). Dann schicken wir es durch ein weiteres Stern-Gerlach-Experiment, das sich an der$x$-Richtung. Ich dachte: "Das bedeutet, das Anwenden der$S_x$Betreiber, richtig?", also haben wir

Im$z$-Basis ist der letzte Term äquivalent zu

Wenn wir also diesem Ergebnis ein drittes Stern-Gerlach-Experiment gegenüberstellen, diesmal wieder in$z$-Richtung, wir werden auf jeden Fall einen Spindown bekommen. Dies bedeutet, dass die Folge nachfolgender SG-Experimente den anfänglichen Spin-up gegen den Spin-down vertauscht.

Dies steht natürlich in direktem Widerspruch sowohl zur Theorie als auch zu experimentellen Beweisen. Der Punkt ist genau das, was in diesem Thread diskutiert wurde: Yul von oben zitieren:

Die wahre (physikalische) Kraft selbstadjungierter Operatoren zur Beschreibung von Observablen liegt im Spektralsatz und nicht in seinem$\psi \mapsto A \psi$Handlung

Es ist ein Denkfehler$S_z$als Anwendung des Messverfahrens. Das Ergebnis von SG wird tatsächlich durch das Spektrum definiert.

Wenn wir diesen Gedanken korrigieren, erhalten wir Folgendes: Unsere Initiale$\lvert + \rangle$kann geschrieben werden als$\lvert + \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;+ \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} \lvert S_x;- \rangle$. Messung$S_x$wird dann mit gleicher Wahrscheinlichkeit eines von "spin up" und "spin down" wählen, sagen wir mal$\lvert S_x;- \rangle$. Dies wiederum lässt sich in darstellen$S_z$Basis-Kets, so dass wir eine weitere 50-50-Chance für Spin-Up und Spin-Down in Bezug auf erhalten$z$.

Ich hoffe, dass mein Fehler auch anderen Studenten helfen wird. Danke Pascal, dass du mir den entscheidenden Punkt offenbart hast (auch durch Verweis auf diesen Thread).