Was repräsentieren Kets auf QFT?

Kets stellen eine Konfiguration des Feldes dar (und die Terminologie wird normalerweise von "Hilbert-Raum" zu "Fock-Raum" aktualisiert).$\lvert 0 1 0 \cdots 0\rangle$ist, dass es 1 Erregung (ein Teilchen) an einer Stelle gibt, die durch die zweite Stelle in diesem Vektor angegeben ist.

Nehmen wir zur Erklärung ein einfaches Beispiel: Ein Teilchen in einer Kiste. Normalerweise löst man im Undergrad Quantum die Schrödinger-Gleichung:

Hier$\lvert \psi_1\rangle$ist ein wohldefiniertes Objekt in der Einteilchen-Quantenmechanik (dh$\psi_1(x) = \langle x | \psi_1 \rangle$). Wenn ich diese Eigenwertgleichung für die erste löse:$E_1 = \pi/L$dann bekomme ich die Wellenfunktion$\psi_1(x) = \sqrt{\frac2L}\sin(\pi x/L)$. Aber ich möchte mehr Partikel und es ist bequem, daran zu denken$\psi_1(x)$jetzt als Feld. Ich mache das also so, dass ich an einen größeren "Fock" -Raum denke, der auch die Anzahl der Teilchen berücksichtigt.

Wenn wir sagen, dass dies Bosonen sind, dann verwenden wir Bosonenleiteroperatoren, um ein Teilchen zu erzeugen. Also, sag das$a_x^\dagger$erzeugt genau an der Position ein Boson$x$in unserem System. Also, die$\psi(x)$in unserem unendlichen quadratischen brunnen ist es nicht an einer einzigen position, es ist über die ganze box verteilt. Also beginnen wir mit einem Zustand$\lvert{0}\rangle$das keine Teilchen hat, und um den Zustand zu erzeugen, der mit unserer Lösung der Schrödinger-Gleichung verbunden ist, schreiben wir

Die Notation$\lvert{1 0 0 \cdots}\rangle$ist jetzt, dass ich ein Teilchen im ersten Energieniveau habe. Tatsächlich der Bosonenoperator, der ein Teilchen bei jeder Energie erzeugt$n\pi/L$ist nur

Wo$\psi_n(x)$hat Energie$n\pi/L$. Sie können leicht überprüfen, ob dies immer noch wohldefinierte Boson-Leiter-Operatoren sind und$[a_n,a_m^\dagger]=0$Wenn$n\neq m$(die Magie der Orthogonalität!).

In diesem Sinne sind die Kets jetzt nur noch "Feldkonfigurationen": So wie ich das Ket oben für das zweite quantisierte Quadrat gut geschrieben habe$\lvert 1 2 5 0 0 \cdots \rangle$bedeutet 1 Partikel in$\psi_1$, 2 Teilchen hinein$\psi_2$und 5 Teilchen hinein$\psi_3$. Die Leute schreiben dieses Ket gerne als

bei dem die$a$'s sind mein Außendienstmitarbeiter. Das bedeuten Kets in der Quantenfeldtheorie.

Die Indizes in meinem Ket stellen eine besondere Grundlage für meine Bosonenfeldoperatoren dar$a_n$(die Energiebasis). Ich könnte auch eine ähnliche Menge auf Positionsraumbasis mit schreiben$a_x^\dagger$und diese repräsentieren das Feld in der Quantenfeldtheorie$\Psi(\mathbf r)$.

Aber wie verändert sich der Hamiltonoperator? Nun, betrachten Sie dieses Objekt:

Wenden Sie dies nun auf unser Ket an$\lvert{10\cdots}\rangle$. Nach etwas Bosonalgebra erhalten wir

Wir haben unseren Hamiltonoperator für den zweiten quantisierten Raum von Kets gefunden! Jetzt arbeiten die Leute lieber mit dem Feld als mit den Kets, also verwenden die Leute diesen Hamilton-Operator$\mathcal H$mit dem Feldoperator$a_x$seine volle Entwicklung mit dem Heisenberg-Bild zu erhalten .

Ich meine, angenommen, Ψ ist ein Quantenfeld, in diesem Fall ist Ψ(r) eine Observable.

Ψ(r) ist das Operatorfeld, keine Observable. Das Observable ist das, was nach der Operation am Grundzustand erscheint.

Nehmen Sie das Elektronenfeld. Es wird mathematisch über die gesamte Raumzeit beschrieben, aber offensichtlich ist nicht die gesamte Raumzeit mit Elektronen gefüllt!

Wenn das stimmt, wirkt Ψ(r) auf Kets des Hilbert-Raums.

Ein freies Elektron, eine ebene Welle in der ersten Quantisierung, wird in der zweiten Quantisierung durch die Erzeugungsoperatoren von Elektronen dargestellt, deren Funktion folgt, erzeugt und vernichtet, was in der ersten Quantisierung die Richtung des beobachtbaren Elektronenwellenpakets ist. Und vergessen Sie nicht, dass es immer ein Integrallauf gibt, um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Beobachtung, sogar eines freien Teilchens, zu erhalten.

Aber jetzt repräsentieren diese Kets genau das, was

Sie sind die Grundzustands-Wellenfunktion der ersten Quantisierungslösung des vorliegenden Randwert- und Potentialproblems.

In der mathematischen Analyse der anderen Antwort von qgp07 sind die Nullen in den langen Kets die Grundzustandswellenfunktion des vorliegenden Problems.

wenn nun das System selbst durch Ψ dargestellt wird?

Es ist eine schlechte Wahl, das mathematische Operatorfeld durch Ψ darzustellen, es verwechselt das Feld mit der Wellenfunktion.

Die Betrachtung eines Feynman-Diagramms im Weltraum kann hilfreich sein.

Die ankommenden Linien erscheinen im Raum als die mathematisch korrekte Abfolge von Erzeugung und Vernichtung des Teilchens, das die Linie darstellt. An den Wechselwirkungspunkten, die in der ersten Quantisierung Potentiale sind, werden unter dem Integral Vertexfunktionen und Propagatorfunktionen, die die Wahrscheinlichkeit der Wechselwirkung an diesem Punkt (x,y,z,t) ergeben. Es ist der Energie-/Impulsraum, der die nützlichste Vorhersagefunktion von Feynman-Diagrammen ist, und die Logik ist die gleiche.

Die Kets in der QFT gehören zum Fock-Raum über dem Hilbert-Raum der Einzelteilchenzustände in der QM. Im bosonischen Fall ist dies die symmetrische Algebra über dem Hilbertraum und im fermionischen Fall die antisymmetrische Algebra.