Warum kann nicht jeder Quantenzustand als Dichtematrix/Operator ausgedrückt werden?

Die Aussage von yuggib ist richtig. Um es ins rechte Licht zu rücken, beginne ich mit einer ganz allgemeinen Formulierung und zeige dann, wie Vektorzustände und Dichteoperatoren in dieses Bild passen. Ich werde hier nicht versuchen, mathematisch streng zu sein, aber ich werde versuchen, einen Überblick mit genügend Schlüsselwörtern und Referenzen zu geben, um ein weiteres Studium zu ermöglichen.

Zustand = normalisierte positive lineare Funktion

Jeder Quantenzustand, rein oder gemischt, kann durch eine normalisierte positive lineare Funktion der Operatoralgebra dargestellt werden. Eine solche Funktion übernimmt jeder Operator$X$als Eingabe und gibt eine einzelne komplexe Zahl zurück$\rho(X)$als Ausgabe, mit netten Eigenschaften wie

$$\begin{gather*} \rho(X+Y)=\rho(X)+\rho(Y) \hskip2cm \rho(cX)=c\rho(X) \\ \rho(X^*X)\geq 0 \hskip2cm \rho(1)=1 \end{gather*}$$ für alle Betreiber$X,Y$und komplexe Zahlen$c$. Ich verwende ein Sternchen sowohl für die komplexe Konjugation als auch für den Operatoradjoint, und ich schreibe$1$sowohl für den Identitätsoperator als auch für die Einheitennummer. Ich erwäge auch nur beschränkte Operatoren, um die Anweisungen einfach zu halten. Dies ist im Prinzip immer ausreichend, auch wenn wir in der Praxis normalerweise aus Bequemlichkeit einige unbeschränkte Operatoren verwenden.

"Normalisiertes positives lineares Funktional" ist ein langer Name für eine sehr einfache Sache. Es hat auch einen kürzeren Namen: Mathematiker nennen es oft einfach einen Zustand (siehe Wikipedia ), und ich werde diesen Namen hier verwenden. In [1] wird es als algebraischer Zustand bezeichnet, um es von anderen Verwendungen des Wortes "Zustand" zu unterscheiden.

Ein Zustand heißt gemischt , wenn er geschrieben werden kann als

$$\rho(X) = \lambda_1\rho_1(X)+\lambda_2\rho_2(X)$$ für alle$X\in{\cal A}$, Wo$\rho_n$sind zwei unterschiedliche Zustände und wo die Koeffizienten$\lambda_n$sind beide positive reelle Zahlen (nicht Null). Ein Zustand, der auf diese Weise nicht geschrieben werden kann, wird als rein bezeichnet .

Das ist alles ganz allgemein. Es funktioniert in allen Bereichen einwandfrei, von einem Single-Qubit-System bis hin zur Quantenfeldtheorie. Im Gegensatz dazu ist die Verwendung eines Dichteoperators zur Darstellung eines Zustands mathematisch weniger allgemein. Die folgenden Absätze befassen sich damit, wie Vektorzustände und Dichtematrizen in das oben beschriebene allgemeinere Bild passen.

Vektorzustände und Dichtematrizen / Dichteoperatoren

Das GNS-Theorem besagt, dass ein Zustand immer als implementiert werden kann

$$\rho(\cdots) =\frac{\langle\psi|\cdots|\psi\rangle}{ \langle\psi|\psi\rangle}$$ Wo$|\psi\rangle$ist ein einzelner Vektor in einer Hilbert-Raum-Darstellung der Operatoralgebra. Auch gemischte Zustände sind so immer realisierbar. Der Haken ist, dass die erforderliche Hilbert-Raum-Darstellung nicht notwendigerweise irreduzibel ist, und wir möglicherweise zu anderen Hilbert-Raum-Darstellungen wechseln müssen, um auf diese Weise verschiedene Zustände zu implementieren. Die Hilbert-Raum-Darstellung der Operatoralgebra ist genau dann irreduzibel, wenn der Zustand rein ist [2][3].

Ein Staat$\rho$heißt Normalzustand, wenn ein Operator$\hat\rho$(eine Dichtematrix oder Dichteoperator ) existiert so, dass [4]

$$\rho(\cdots) = \text{Trace}(\cdots \hat \rho).$$ Die Tatsache, dass diese Art von Staat einen besonderen Namen hat, deutet darauf hin, dass es sich um eine besondere Art von Staat handelt – dass nicht jeder Staat so ausgedrückt werden kann. Dies wird in [5] bestätigt, wo Valter Moretti Gegenbeispiele beschreibt. Die Math SE-Frage [6] fragt auch nach einem Gegenbeispiel und hat eine Antwort.

Abschluss

Dies alles stimmt mit Yuggibs Aussage überein

nicht jeder Quantenzustand kann in einer gegebenen (nicht reduzierbaren) Darstellung als Strahl im Hilbert-Raum (oder eigentlich als Dichtematrix) dargestellt werden.

Die Anweisung muss jedoch sorgfältig analysiert werden: Die angegebenen Wörter und irreduzibel sind wichtig. Die Wikipedia-Seite mit der Aufschrift "Die Beschreibung eines Quantenzustands durch seine Dichtematrix ist eine völlig allgemeine Alternative ..." bezieht sich möglicherweise auf einen weniger allgemeinen Kontext wie endlichdimensionale Hilbert-Räume oder verwendet implizit eine weniger allgemeine Definition von "Staat". Das bedeutet nicht, dass die Wikipedia-Seite falsch ist; es bedeutet nur, dass wir uns – wie immer – vor Zweideutigkeiten hüten müssen.

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Verweise:

[1] Valter Moretti (2013), Spectral Theory and Quantum Mechanics (Eine Ausgabe von 2018 ist ebenfalls verfügbar; ich habe die Version von 2013 zitiert, weil ich diese beim Schreiben dieser Antwort zur Hand hatte)

[2] Satz 1.8 in https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036

[3] Satz 14.12 in [1]

[4] https://ncatlab.org/nlab/show/state+on+a+star-algebra

[5] Gibt es eine physikalische Bedeutung für nicht-normale Zustände der Algebra der Observablen? (auf Physik SE)

[6] "Nicht normaler Zustand" ( https://math.stackexchange.com/q/2962163 )

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Nachtrag: Diese Antwort wurde ein paar Mal abgelehnt. Ich weiß nicht warum (es wurden keine Kommentare hinterlassen), aber ich füge die folgende Klarstellung hinzu, falls sie das Problem anspricht:

Wenn die Frage gewesen wäre "Sind Normalzustände für alle praktischen Zwecke ausreichend?" dann wäre die antwort sicher ja. Aber das war nicht die Frage. In der Frage wurde nach dem Grund für eine bestimmte mathematisch orientierte Aussage über Zustände in Operatoralgebren gefragt, und darauf versucht diese Antwort einzugehen.

Ich halte die Aussage einfach für falsch. Der erste Teil des fettgedruckten Zitats „[N]it jeder Quantenzustand kann in einer gegebenen (irreduziblen) Darstellung dargestellt werden“ ist zutreffend, weil im Hilbert-Raum nur reine Zustände als Strahlen existieren. Tatsächlich besteht der springende Punkt bei der Formulierung der Dichtematrix darin, dass sie allgemeinere Zustände zulässt, die keine reinen Zustände sind. Für einen reinen Zustand ist die Dichtematrix effektiv ein Projektionsoperator auf diesen Zustand (also zufriedenstellend$\rho^{2}=\rho$), aber die Dichtematrix kann auch eine probabilistisch gewichtete Summe solcher Projektionsoperatoren sein. (Was genau diese gemischten Zustände bedeuten, bringt uns zum Rätsel der korrekten Interpretation der Quantenmechanik; aus praktischer Sicht existieren sie jedoch, zumindest in gewissem Sinne.)

Ich vermute, dass der Autor dieses Zitats einfach übergeneralisiert hat. Für nicht reine Zustände gibt es keine Darstellung in Form einer Dichtematrix$\rho$das befriedigt$\rho^{2}=\rho$. Viele pädagogische Behandlungen der Dichtematrix beginnen damit, nur die Dichtematrizen für reine Zustände zu betrachten, für die$\rho^{2}=\rho$ist eine Konsistenzbedingung; Tatsächlich befassen sich einige Behandlungen nicht einmal mit dem allgemeineren Fall. Ich persönlich halte einen solchen Ansatz jedoch für dumm, da die wichtigste Motivation für die Dichtematrixformulierung der Quantenmechanik genau ihre Fähigkeit ist, mit gemischten Zuständen umzugehen.