Warum verwendet die Quantenmechanik Dichteoperatoren anstelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Zustandsraum?

Immer wenn ich versuche, mich mit gemischten Zuständen zu befassen, werde ich auf den Begriff der Dichteoperatoren verwiesen. Ich denke, dass Dichteoperatoren eingeführt wurden, um gemischte Zustände als Operatoren darzustellen.

Für das, was ich gelesen habe, sehe ich, dass ein gemischter Zustand nur ein Haufen reiner Zustände ist, bei denen jedem Zustand eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen ist, die alle zu eins summiert. Manchmal wird ein gemischter Zustand als Ensemble im Sinne von statistischem Ensemble bezeichnet .

Beschränken wir uns auf den endlichdimensionalen Fall. Die, die wir haben, wenn wir uns mit Quantencomputern beschäftigen. Wir haben also den Hilbert-Raum$H(\mathbb{C}^n$) und die reinen Zustände werden durch Strahlen in modelliert$\mathbb{C}^d$. Somit wird der Zustandsraum durch den projektiven Raum modelliert$\mathbb{C}P^{n-1}$.

Lassen Sie uns eine orthonormale Basis festlegen$|e_1\rangle, \dots |e_n\rangle$In$\mathbb{C}^n$und ein reiner Zustand$|\phi\rangle$. Wenn wir eine Messung durchführen, ist diese Basis, dann ist nach der Born-Regel die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses$|e_j\rangle$gleich$|\langle e_j|\phi\rangle|^2$.

Wenn wir einen gemischten Zustand haben, bestehend aus$|\phi_1\rangle,\dots|\phi_k\rangle$mit Wahrscheinlichkeit von$|\phi_i\rangle$Sein$p_i$dann betrachten wir den Dichteoperator$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle\phi_i|$. Und dann, wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses berechnen wollen$|e_j\rangle$, wir ( das bin ich mir nicht sicher ) berechnen$\langle e_j|\rho|e_j\rangle$was uns gibt$\sum_ip_i |\langle e_j|\phi_i\rangle|^2$.

Und das oben genannte stört mich. Diese ganze Idee von Dichteoperatoren fühlt sich für mich wie Overkill an.

Die Formel$\sum_ip_i |\langle e_j|\phi\rangle|^2$sieht genauso aus wie eine marginale Verteilung (die ein Sonderfall der Pushforwad-Maßnahme ist). Anstelle von Dichteoperatoren sollten wir also gemischte Zustände als Wahrscheinlichkeitsverteilungen modellieren$\mathbb{C}P^{n-1}$(Wenn man formeller sein möchte, würde man überlegen$\sigma$-filed generiert durch Borel-Sets on$\mathbb{C}P^{n-1}$). Bei einer solchen Wahrscheinlichkeitsverteilung$P$, die Wahrscheinlichkeit, dass$|\phi\rangle$ist in$S\subset \mathbb{C}P^{n-1}$wird von gegeben$\int_S dP(|\phi\rangle)$. Im Falle eines diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßes erhalten wir eine genau statistische Gesamtheit reiner Zustände.

In einem solchen Rahmen könnten wir die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses berücksichtigen$|e_j\rangle$als Funktion reiner Zustände. Dh$pm_j:\mathbb{C}P^{n-1}\to[0,1]$durch Formel gegeben$pm_j(|\phi\rangle)=|\langle e_j|\phi\rangle|^2$. Und da$pm_j$ist messbar, kann als Zufallsvariable behandelt werden, und wir können damit alle ausgefallenen probabilistischen Sachen machen. Wir können es integrieren$\int_{\mathbb{C}P^{n-1}}|\langle e_j|\phi\rangle|^2dP(|\phi\rangle)$und etwas erhalten, das die direkte Verallgemeinerung dessen ist, was wir oben erhalten haben (ich meine$\sum_ip_i |\langle e_j|\phi_i\rangle|^2$).

Wir können diesen Rahmen noch weiter vorantreiben. Ein willkürliches Observable$A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$da ein linearer Operator zu einer Abbildung führt (oder eher zu einer Faktor).$\bar{A}:\mathbb{C}P^{n-1}\to\mathbb{C}P^{n-1}.$Und da$\bar{A}$messbar ist, treibt es das Maß voran. Somit können wir die obige Argumentation ebenfalls anwenden.

Ich glaube, dass das, was ich skizziert habe, auf einen beliebigen Hilbert-Raum (und auf beliebige Quantenoperationen) verallgemeinert werden kann.

Stimmt der obige Wahrscheinlichkeitsrahmen mit dem über Dichteoperatoren definierten überein? Wenn ja, sollte die ganze Quantenmechanik nicht nur reine Zustände interessant finden?