Haben die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Dichtematrix eine klare und intuitive Bedeutung?

  1. Haben die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Dichtematrix eine klare und intuitive Bedeutung?

  2. Hat eine Dichtematrix immer eine Basis von Eigenvektoren?  

Es ist hermitesch, also garantiert der Spektralsatz, dass es diagonalisierbar ist.

Antworten (2)

Im Allgemeinen kann die Dichtematrix eines gegebenen Systems immer in der Form geschrieben werden

(1) ρ = ∑ ich P ich | ϕ ich ⟩ ⟨ ϕ ich | ,
stellt unter anderem eine probabilistische Mischung dar, in der der reine Zustand | ϕ ich ⟩ ist mit Wahrscheinlichkeit vorbereitet P ich , aber diese Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig . Das deutlichste Beispiel dafür ist der maximal gemischte Zustand etwa auf einem Zwei-Niveau-System mit orthonormaler Basis { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } ,
ρ = 1 2 [ | 0 ⟩ ⟨ 0 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ] ,
die auf jeder orthonormalen Basis für den Raum genau dieselbe Form hat.

Im Allgemeinen aber die Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Dichtematrix ρ Stellen Sie eine Reihe von Zuständen und Gewichten bereit, so dass ρ kann wie in geschrieben werden ( 1 ) - aber mit der zusätzlichen Garantie, dass die | ϕ ich ⟩ sind orthogonal.

Dies spezifiziert die fraglichen Zustände nicht eindeutig, denn wenn irgendein Eigenwert vorhanden ist P ich entartet ist, gibt es einen zweidimensionalen (oder größeren) Unterraum, in dem jede orthonormale Basis gleichermaßen gültig ist, aber diese Art von Undefiniertheit ist nur ein intrinsischer Teil der Struktur.

Werden die Eigenwerte in der Basis der Eigenvektoren wie die Wahrscheinlichkeiten sein, die in angegeben sind ρ s Definition?
@proton Die Erweiterung in ( 1 ) ist nicht wirklich eine Definition - es ist nur eine mögliche mathematische Erweiterung, die je nach Kontext physikalische Bedeutung haben kann oder nicht. Die Eigenwerte & Eigenvektoren lassen die Interpretation einer probabilistischen Mischung der gegebenen Zustände mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten zu, die von einem rein klassischen RNG bereitgestellt werden. Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, Dichtematrizen zu erzeugen, und Sie können gemischte Zustände erhalten, indem Sie zB eine Hälfte eines verschränkten Systems nachzeichnen, das sich ansonsten in einem reinen Zustand befindet.

Der Dichteoperator ist definiert als

ρ = ∑ ich = 1 N P ich | X ich ⟩ ⟨ X ich |

für einen Satz N Zustände | X ich ⟩ die mit Wahrscheinlichkeit auftreten P ich . Diese Zustände bilden eine orthonormale Basis, um die Normierungsbedingung sicherzustellen T R ( ρ ) = 1 .

Aus dieser Definition können wir ersehen, dass die Eigenwerte die Wahrscheinlichkeiten sind P ich das sind reelle Zahlen; der Operator weist einfach die Wahrscheinlichkeit einem reinen Zustand zu (der sich nicht in einer Überlagerung mit anderen Zuständen befindet), ohne diesen Zustand zu ändern. Daher wissen wir aus der linearen Algebra, dass bei reellen Eigenwerten die Dichtematrix hermitesch sein muss.

Eine andere Möglichkeit, die Hermitizität zu sehen, ist die Überprüfung ⟨ B | ρ = ( ρ | B ⟩ ) ∗ für irgendeinen Zustand | B ⟩ .

Aus der Hermitizität folgt, dass Eigenwerte und Eigenvektoren existieren (Spektralsatz).

Was ist, wenn ρ ist für eine Menge definiert { | X ich ⟩ } das ist keine orthonormale Basis?
Dann kannst du erweitern | X ich > als Überlagerung einiger orthonormaler Zustände | a ich J > so dass | X ich >= ∑ J B ich J | a ich J > und Sie erhalten auch eine hermitesche Matrix (Sie können Hermitizität beweisen, indem Sie zB die Matrix auf einen konjugierten Zustand anwenden und prüfen, ob sie mit der Anwendung der Matrix auf den ursprünglichen Zustand übereinstimmt), die diagonalisiert werden kann.
Versuchen Sie zu implizieren, dass jede Matrix mit reellen Eigenwerten hermitesch ist? Denn das ist falsch.
Diese Zustände bilden eine orthonormale Basis, um die Normierungsbedingung Tr(ρ)=1 sicherzustellen. --- Dies ist zumindest irreführend. Es ist lediglich eine Normalisierung von X_i erforderlich.
Wie geschrieben ist die Antwort leicht irreführend: if | ± ⟩ k sind Eigenzustände von σ k zum Beispiel ist es durchaus möglich zu haben ρ = 1 2 | + ⟩ z + 1 2 | − ⟩ X . Der Dichteoperator ist also sicher nicht orthonormal definiert .
Haben die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Dichtematrix eine klare und intuitive Bedeutung?
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