So zerlegen Sie eine Dichtematrix eines gemischten Ensembles in eine Summe reiner Ensembles [geschlossen]

Wie Sie anmerken, ist die Zerlegung tatsächlich nicht eindeutig, und es besteht keine Anforderung, dass die Komponenten orthogonal sind. Sie sollten die Nichteindeutigkeit jedoch als eine gute Sache behandeln, da Sie lediglich eine funktionierende Zerlegung zeigen müssen und nicht alle möglichen Zerlegungen charakterisieren müssen. Da Sie nur ein Beispiel zeigen müssen, können Sie Ihrem Beispiel alle zusätzlichen Anforderungen auferlegen, die Sie für zweckmäßig halten, wobei Orthogonalität das offensichtliche Go-Go ist.

In der Praxis reicht es also aus, die Matrix einfach zu diagonalisieren.

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Allerdings scheint die Diagonalisierung Ihnen einige unangenehm aussehende Vektoren zu geben, dh Sie werden aufgefordert, als zu zerlegen

$$\begin{align} \rho &= \frac{3+\sqrt{5}}{8} \frac{1}{1+\varphi^2} \begin{pmatrix}\varphi\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\varphi&0&1\end{pmatrix} \\ & \quad+ \frac{3-\sqrt{5}}{8} \frac{\varphi^2}{1+\varphi^2} \begin{pmatrix}-\varphi^{-1}\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\varphi^{-1}&0&1\end{pmatrix} \\ & \quad + \frac14 \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix} ,\end{align}$$ Wo $\varphi$ist der goldene Schnitt, der ziemlich umständlich ist, besonders wenn man das nur bemerken kann $$\begin{align} \rho = \frac14 \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} +\frac14 \begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix} +\frac14 \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{align}$$ und nehme es von dort. Wie ich bereits sagte, wenn Sie gebeten werden, eine Ensemble-Zerlegung bereitzustellen, müssen Sie lediglich eine bereitstellen, die funktioniert.