Gibt es mehr verschränkte oder unverschränkte Zustände?

Ich versuche, Verstrickung im Sinne von Knappheit und Überfluss zu verstehen .

Gegeben sei ein beliebiger Vektor v die einen reinen Quantenzustand von, sagen wir, Dimension 4 darstellt, dh v ∈ H ⊗ 4 ,

Ist v wahrscheinlicher verwickelt als nicht verwickelt (trennbar)?

Indem ich versuche, es selbst zu beantworten, kann ich sehen, dass der Trennbarkeitstest auf einer existenziellen Quantifizierung basiert , nämlich zu versuchen, dies zu beweisen ∃ v 1 , v 2 ∈ H ⊗ 2 so dass v 1 ⊗ v 2 = v .

Der Verschränkungstest hingegen basiert auf einem universellen Quantor ,

∀ v 1 , v 2 ∈ H ⊗ 2 , v 1 ⊗ v 2 ≠ v .
Diese Argumentation könnte also darauf hindeuten, dass verschränkte Vektoren viel seltener sind als trennbare, da es einfacher ist, ein einfaches Beispiel (existentiell) zu finden, das die Bedingung erfüllt, als nach jedem einzelnen (universellen) zu suchen.

Dieses Ergebnis würde physikalisch Sinn machen, da Verschränkung eine wertvolle Ressource ist und daher intuitiv knapp sein sollte.

Macht diese Argumentation überhaupt Sinn oder sage ich Unsinn? Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

PS: Ich würde davon ausgehen, dass die Erweiterung dieser Argumentation auf (Dichte-)Matrizen naheliegend wäre.

"PS: Ich würde davon ausgehen, dass die Erweiterung dieser Argumentation auf (Dichte-) Matrizen offensichtlich wäre." --- Warum nehmen Sie das an? Während fast alle reinen Zustände verschränkt sind, ist tatsächlich nur ein endlicher Bruchteil aller gemischten Zustände einer gegebenen Dimension verschränkt.
@NorbertSchuch das ist interessant, könnten Sie auf ein Papier verlinken, das dies zeigt?
@glS Was ist interessant?
@NorbertSchuch Ich meinte die Tatsache, dass es für gemischte Zustände endliche Brüche trennbarer Zustände gibt
@glS Ok, zum einen ist bekannt, dass es in jeder Dimension einen Ball um den maximal gemischten Zustand gibt, der trennbar ist, also muss das Volumen der trennbaren Zustände ungleich Null sein. Auf der anderen Seite können Sie sehen (z. B. mit PPT), dass es um einen reinen verschränkten Zustand herum eine Kugel aus verschränkten Zuständen gibt, sodass sie auch ein Volumen ungleich Null haben. Aber ich bin mir sicher, dass dies quantitativer untersucht wurde, aber ich kenne keine Referenz aus dem Kopf. Rezensionen zum Thema Verschränkung könnten ein guter Ausgangspunkt sein.
@glS Eine Suche nach "Volume" "trennbare Zustände" gibt sicherlich einige nützliche Ressourcen für den Anfang.

Antworten (4)

Ich gehe davon aus, dass Sie einen endlichdimensionalen Basis-Hilbert-Raum haben H 0 und dass Sie Ihren vollen Hilbert-Raum als bauen H = H 0 ⊗ H 0 . Unter diesen Bedingungen hat die Menge der trennbaren Zustände das Maß Null .

(Es wird etwas komplizierter, wenn Sie haben H 0 ⊗ 4 und Sie dürfen es beliebig auf diese beiden Faktoren aufteilen, und die Antwort ist negativ, wenn Sie in Ihrem Raum nach einer beliebigen Tensorproduktstruktur suchen dürfen , da Sie immer einen Faktor zu Ihrem gegebenen hinzufügen können | ψ ⟩ .)

Betrachten Sie also eine gegebene Basis { | n ⟩ : n = 1 , … , N } zum H 0 , was bedeutet, dass jeder beliebige Zustand | ψ ⟩ ∈ H kann geschrieben werden als

| ψ ⟩ = ∑ n , m ψ n m | n ⟩ ⊗ | m ⟩ .
Wenn insbesondere | ψ ⟩ kann als Tensorprodukt geschrieben werden | ψ ⟩ = | u ⟩ ⊗ | v ⟩ , dann hast du
| ψ ⟩ = ( ∑ n u n | n ⟩ ) ( ∑ m v m | m ⟩ ) = ∑ n , m u n v m | n ⟩ ⊗ | m ⟩ ;
das heißt, die Koeffizientenmatrix ψ n m hat die Form ψ n m = u n v m . Dies bedeutet, dass diese Matrix den Rang eins hat, was dann bedeutet, dass sie eine Determinante gleich Null haben muss. Da die Determinante eine stetige Polynomfunktion ist det : C N × N → C , sein Nullsatz hat Borel-Maß Null im Inneren C N × N , und damit entsprechend innen H .

Das bedeutet schließlich, dass man einen zufälligen Vektor wählt | ψ ⟩ ∈ H unter Verwendung eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, das in Bezug auf das kanonische Borel-Maß absolut kontinuierlich ist H ≅ C N × N , dann ist es mit ziemlicher Sicherheit verstrickt. Als zusätzlichen Bonus aus genau demselben Argument wird ein solcher Vektor tatsächlich (mit ziemlicher Sicherheit) einen vollen Schmidt-Rang haben .

Etwas intuitiver sagt dieses Argument aus, dass trennbare Zustände innerhalb des vollen Hilbert-Raums eine sehr dünne Mannigfaltigkeit bilden, und dies wird durch die Antwort des Geistes von Zeldredge ziemlich gut erfasst. Insbesondere um einen beliebigen trennbaren Zustand zu beschreiben, benötigen Sie 2 N − 1 komplexe Parameter ( N jeweils für die Komponenten von | u ⟩ und | v ⟩ , abzüglich einer gemeinsamen Normalisierung), so dass grob gesagt die trennbaren Zustände eine Untermannigfaltigkeit der Dimension bilden 2 N − 1 . Dies ist jedoch in einen viel größeren Verteiler eingebettet H von Dimension N 2 , was viel mehr Komponenten zu beschreiben erfordert, also z N größer als zwei sind die trennbaren Zustände in der Tat eine sehr dünne Scheibe.

Natürlich zeigt diese Antwort noch mehr - die nicht verschränkten Zustände haben eine positive Kodimension im Zustandsraum, die erheblich stärker ist als das Maß Null.

Nein, tatsächlich sind „die meisten Staaten“ verstrickt. (Dies soll eine Heuristik sein; ich gebe frei zu, dass dies wahrscheinlich eine schwierige Sache ist, um formal einen Zustand zufällig auszuwählen.) Meine Intuition / mein Grund dafür, dies zu sagen, ist, dass es Annäherungsmethoden gibt, die funktionieren, indem sie sich darauf beschränken ein Unterraum mit geringer Verschränkung, wie z. B. Matrix Product States (MPS) oder Projected Entangled Pair State (PEPS), die verwendet werden können, um die Grundzustände und die Dynamik bestimmter Hamiltonianer effizient darzustellen.

Hier ist ein weiteres, konkreteres Beispiel. Angenommen, wir haben eine Reihe von Qubits. Die Produktzustände können alle angegeben werden, indem zwei Zahlen pro Qubit gespeichert werden (die Bloch-Winkel oder die | 0 ⟩ und | 1 ⟩ Amplituden). Daher für n Qubits können wir speichern 2 n Zahlen, die jeden Produktzustand erfassen. Allerdings hat Hilbert den vollen Platz 2 n Zustände, was bedeutet, dass ein allgemeiner (Nicht-Produkt-)Zustand die Spezifikation durch erfordert 2 n verschiedene komplexe Zahlen. Offensichtlich gibt es unendlich viele davon, da die Amplituden kontinuierlich sind, aber ich denke, es sollte klar sein, dass der letztere Fall viel mehr Zustände zulässt, insbesondere wenn Sie den Raum diskretisieren.

Der Grund, warum Verschränkung eine Ressource ist, liegt nicht darin, dass verschränkte Zustände selten sind; Vielmehr wollen wir die Verschränkung auf nur wenige interessierende Systeme beschränken, während sich die meisten Staaten schnell mit ihrer Umgebung verschränken.

Die meisten Zustände sind tatsächlich verschränkt (zumindest nach dem Standardmaß). Andererseits sind die meisten Staaten immer noch viel stärker verstrickt als MPS-Staaten (voller Schmidt-Rang vs. eher eingeschränkter Rang).
@EmilioPisanty Richtig; Es ist nur mein erster Gedanke, als ich die Frage sah. Ich nehme an, dass dies durch eine allgemeinere Version meines Arguments über die Kosten der Parametrisierung eines Zustands (dh die Kosten zur Darstellung höherer Schmidt-Ränge wachsen exponentiell) gesehen werden könnte. Aber ich denke, Ihre Antwort war vollständig genug, um meine nicht zu erweitern.

Ich weiß aus diesem Vortrag von M. Horodecki, dass verschränkte Zustände häufiger vorkommen als trennbare Zustände. Siehe auch dieses Papier darüber, wie trennbare Zustände im reinen Zustandsraum eine Menge von Maß Null bilden.

Was Ihre Argumentation betrifft, so kann man das meiner Meinung nach auch sehen.

| ψ ⟩ = | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ kann als Einschränkung der Staatsstruktur angesehen werden. Für einen verschränkten Zustand gibt es keine solche Einschränkung für die Struktur, daher könnte man mehr solche Zustände erwarten als trennbare Zustände.

Ein weiteres Argument kann sein, dass die Matrix mit reduzierter Dichte einer Partei aus einem verschränkten Zustand ein gemischter Zustand ist. Nun gibt es mehr gemischte Zustände als reine Zustände.

Ich warne jedoch davor, solchen Argumenten zu sehr zu vertrauen.

Die Menge der verschränkten Zustände ist offen und dicht im Raum aller Zustände (für ein gegebenes System). In diesem Sinne ist fast jeder Zustand verschränkt.

Gibt es mehr verschränkte oder unverschränkte Zustände?
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