Kubo-Formel für allgemeine Observables

Question

Kubo-Formel für allgemeine Observables

Physik
Dichteoperator
Quantenmechanik
Störungstheorie
Statistische Mechanik

M.Zeng

In der Wiki-Seite zur Kubo-Formel wird die Erwartung einiger beobachtbarer unter schwacher zeitabhängiger Störung abgeleitet. Allerdings fehlen aus meiner Sicht einige entscheidende Schritte. Ich habe die Ableitung nach der gleichen Idee durchgeführt, aber etwas anderes erhalten. Unten ist meine Ableitung unter Verwendung des Interaktionsbildes:

(Anmerkung: Ich werde andere Notationen verwenden, um das Argument leichter verständlich zu machen. Ich werde Tiefstellung verwenden $I$ explizit Interaktionsbildgrößen und Mengen ohne Sub bedeuten $I$ sind als Schrödinger anzusehen)

Das System Hamiltonian ist gegeben durch $H(t)=H_0+V(t)$ , Wo $H_0$ ist zeitunabhängig und $V(t)$ wird als kleine Störung betrachtet, die eingeschaltet wird $t=0$ . Dann für einige beobachtbare $A$ , wir haben

< A >_{T} = \frac{T R [ρ (T) A]}{T R [ρ (T)]} = \frac{\sum_{N} < N (T) | e^{- β H (T)} A | N (T) >}{\sum_{N} < N (T) | e^{- β H (T)} | N (T) >} = \frac{\sum_{N} e^{- β E_{N} (T)} < N (T) | A | N (T) >}{\sum_{N} e^{- β E_{N} (T)}}

$\begin{equation} <A>_t=\frac{Tr[\rho(t)A]}{Tr[\rho(t)]}=\frac{\sum_n<n(t)|e^{-\beta H(t)}A|n(t)>}{\sum_n<n(t)|e^{-\beta H(t)}|n(t)>}=\frac{\sum_ne^{-\beta E_n(t)}<n(t)|A|n(t)>}{\sum_ne^{-\beta E_n(t)}} \end{equation}$ Jetzt werten wir aus

< n (t) | A | n (t) >

$<n(t)|A|n(t)>$ mit Interaktionsbild:

\begin{aligned} < N (T) | A | N (T) > & =< N_{ICH} (T) | A_{ICH} (T) | N_{ICH} (T) > \\ =< N_{ICH} (0) | U_{ICH}^{†} (T) A_{ICH} (T) U_{ICH} (T) | N_{ICH} (0) > \\ =< N (0) | U_{ICH}^{†} (T) A_{ICH} (T) U_{ICH} (T) | N (0) > \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} <n(t)|A|n(t)>&=<n_I(t)|A_I(t)|n_I(t)>\\ &=<n_I(0)|U^{\dagger}_I(t)A_I(t)U_I(t)|n_I(0)>\\ &=<n(0)|U^{\dagger}_I(t)A_I(t)U_I(t)|n(0)> \end{split} \end{equation}$ wo die Zeitentwicklung im Interaktionsbild verwendet wurde und auch mit der Tatsache, dass

| n_{I} (t) >= e^{i H_{0} t} | n (t) >

$|n_I(t)>=e^{iH_0t}|n(t)>$ , die sofort gibt

| n_{I} (0) >= | n (0) >

$|n_I(0)>=|n(0)>$ .

Das kennen wir auch von Interaktionsbild $U_I(t)=e^{-i\int_0^tdt'V_I(t')}$ , die bei perturbativer Expansion in lineare Ordnung wird $1-i\int_0^tdt'V_I(t')$ . Wenn wir dies in die obige Gleichung einsetzen, haben wir wieder bis zur linearen Ordnung

\begin{aligned} < N (T) | A | N (T) > & =< N (0) | [1 + ich \int_{0}^{T} D T^{'} v_{ICH} (T^{'})] A_{ICH} (T) [1 - ich \int_{0}^{T} D T^{'} v_{ICH} (T^{'})] | N (0) > \\ =< N (0) | A_{ICH} (T) | N (0) > - ich < N (0) | \int_{0}^{T} D T^{'} [A_{ICH} (T), v_{ICH} (T^{'})] | N (0) > \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} <n(t)|A|n(t)>&=<n(0)|[1+i\int_0^tdt'V_I(t')]A_I(t)[1-i\int_0^tdt'V_I(t')]|n(0)>\\ &=<n(0)|A_I(t)|n(0)>-i<n(0)|\int_0^{t}dt'[A_I(t),V_I(t')]|n(0)> \end{split} \end{equation}$ die nach dem Einsetzen in den Ausdruck for

< A >_{t}

$<A>_t$ gibt uns

\begin{aligned} < A >_{T} = & \frac{\sum_{N} e^{- β E_{N} (T)} < N (0) | A | N (0) >}{\sum_{N} e^{- β E_{N} (T)}} - ich \frac{\sum_{N} e^{- β E_{N} (T)} < N (0) | \int_{0}^{T} D T^{'} [A_{ICH} (T), v_{ICH} (T^{'})] | N (0) >}{\sum_{N} e^{- β E_{N} (T)}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} <A>_t=&\frac{\sum_ne^{-\beta E_n(t)}<n(0)|A|n(0)>}{\sum_ne^{-\beta E_n(t)}} -i\frac{\sum_ne^{-\beta E_n(t)}<n(0)|\int_0^{t}dt'[A_I(t),V_I(t')]|n(0)>}{\sum_ne^{-\beta E_n(t)}}\\ \end{split} \end{equation}$ Im Vergleich zum Wiki-Ergebnis scheint die Hauptabweichung der Boltzmann-Faktor zu sein, der vom Dichteoperator stammt. In meinem Fall ist es zeitabhängig, während es auf der Wiki-Seite nicht der Fall ist, was der verwirrende Teil ist, da es anscheinend keine Möglichkeit gibt, die Zeitabhängigkeit zu beseitigen. Jede Hilfe wird sehr geschätzt.

Meng Cheng

Deine erste Zeile ist schon falsch.

ρ = e^{- β H}

$\rho=e^{-\beta H}$ gilt nur für Systeme im thermischen Gleichgewicht, was bedeutet, dass

H

$H$ kann nicht zeitabhängig sein.

M.Zeng

@MengCheng wie sollen wir dann die Erwartung berechnen, weil der Hamiltonian im Dichteoperator der vollständige Hamiltonian sein sollte

Meng Cheng

Wir wissen nicht, wie man den genauen Erwartungswert berechnet, deshalb müssen wir Störungstheorie betreiben.

M.Zeng

@MengCheng, Sie sagen also, dass wir, anstatt den vollständigen Hamiltonian mit einem Gleichgewichtsrahmen zu behandeln, den vollständigen Hamiltonian direkt mit dem ungestörten Teil annähern? Ich dachte immer, die Störung sei bereits durch den Evolutionsoperator erfolgt.

M.Zeng

@MengCheng Eine andere Sache ist, dass wir direkt ersetzen

E_{n} (t)

$E_n(t)$ von

E_{n} (0)

$E_n(0)$ , dann werfen wir im Grunde einige Terme linearer Ordnung in der Störung weg

V

$V$ , was die Störungsentwicklung von ungültig macht

U_{I}

$U_I$ bis zur linearen Ordnung.

Meng Cheng

ρ (t)

$\rho(t)$ ist einfach nicht gleich

e^{- β H (t)}

$e^{-\beta H(t)}$ , also ob Sie ersetzen

E_{n} (t)

$E_n(t)$ von

E_{n} (0)

$E_n(0)$ oder nicht ist egal.

M.Zeng

Entschuldigung, ich muss das klarstellen. Irgendwelche Vorschläge oder Referenzen?

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Kubo-Formel für allgemeine Observables

Deine erste Zeile ist schon falsch. $\rho=e^{-\beta H}$ gilt nur für Systeme im thermischen Gleichgewicht, was bedeutet, dass $H$ kann nicht zeitabhängig sein.
@MengCheng wie sollen wir dann die Erwartung berechnen, weil der Hamiltonian im Dichteoperator der vollständige Hamiltonian sein sollte
Wir wissen nicht, wie man den genauen Erwartungswert berechnet, deshalb müssen wir Störungstheorie betreiben.
@MengCheng, Sie sagen also, dass wir, anstatt den vollständigen Hamiltonian mit einem Gleichgewichtsrahmen zu behandeln, den vollständigen Hamiltonian direkt mit dem ungestörten Teil annähern? Ich dachte immer, die Störung sei bereits durch den Evolutionsoperator erfolgt.
@MengCheng Eine andere Sache ist, dass wir direkt ersetzen $E_n(t)$ von $E_n(0)$ , dann werfen wir im Grunde einige Terme linearer Ordnung in der Störung weg $V$ , was die Störungsentwicklung von ungültig macht $U_I$ bis zur linearen Ordnung.
$\rho(t)$ ist einfach nicht gleich $e^{-\beta H(t)}$ , also ob Sie ersetzen $E_n(t)$ von $E_n(0)$ oder nicht ist egal.
Entschuldigung, ich muss das klarstellen. Irgendwelche Vorschläge oder Referenzen?

Meng Cheng · Answer 1

Hier ist eine Skizze einer Ableitung der Kubo-Formel: Schreiben Sie den vollständigen Hamilton-Operator $H=H_0+H'e^{-\eta t}$ Wo $H'$ ist eine externe (zeitunabhängige) Störung und $\eta\rightarrow 0$ . Wir möchten den Erwartungswert eines Operators bewerten $A(t)$ : $\langle A(t)\rangle=\mathrm{Tr}[\rho(t)A(t)]$ . Also müssen wir zuerst bestimmen $\rho(t)$ unter Verwendung der Störungstheorie. Zuerst schreiben wir $\rho(t)=\rho_0+\rho'(t)$ , und gehen Sie zum Interaktionsbild (gekennzeichnet durch den tiefgestellten Index $I$ im Folgenden), z $\rho=e^{-iH_0t}\rho_I e^{iH_0t}$ . Dann die Störkorrektur $\rho'_I(t)$ zu finden, in der führenden Reihenfolge $H'$ ,

$\displaystyle \rho'_I(t)=i\int_{-\infty}^t dt'[\rho_0, H'_I(t')]$

Dann können wir einfach einstecken $\rho_I'(t)$ hinein $\langle A(t)\rangle=\mathrm{Tr}(\rho(t)A(t))$ . Etwas einfache Algebra gibt Ihnen die Kubo-Formel.

Danke für die Antwort. In der Tat, sobald wir haben $\rho'_I(t)$ wie oben können wir zur gewünschten Form der Kubo-Formel gelangen. Allerdings scheint mir, dass Ihre $\rho'_I(t)$ erhält man dadurch: $i\frac{d\rho'_I(t)}{dt}=i\frac{d\rho_I(t)}{dt}=[H'_I,\rho_I(t)]\approx [H'_I,\rho_I(0)]=[H'_I,\rho_0]$ , vorausgesetzt, die Störung ist eingeschaltet bei $t=0$ . Hast du das getan? Wenn ja, ist mir der Annäherungsteil unangenehm.
Das meinte ich mit "Ordnung einleiten". $H'$ ". Wir machen Störungstheorie, was bedeutet, dass wir in der Störung Reihenfolge für Reihenfolge Antworten erhalten. $[H',\rho_I]=[H',\rho_0]+[H',\rho_I']$ . Ich hätte einen kleinen Parameter setzen sollen $\lambda$ In $H'$ , aber nehme an, dass das der Fall ist $[H',\rho_0]$ liegt in der Größenordnung von $\lambda$ , Und $[H',\rho_I']$ ist von der ordnung $\lambda^2$ . Das Ergebnis stimmt also mit der Bestellung überein $\lambda$ .

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Meng Cheng

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