Wie finden wir die kanonische Ensembledichtematrix für zwei Spins?

Ein zusammengesetztes System wird durch zwei Kopplungsspins konstruiert, und der Hamilton-Operator ist es

H ^ = − J σ ^ 1 · σ ^ 2 − μ B ( σ ^ 1 z + σ ^ 2 z ) B .

Wie können wir also die kanonische Ensembledichtematrix erhalten, dh ρ ^ = Z − 1 exp ⁡ ( − β H ^ ) ? Kann mir jemand Tipps oder Referenzen geben?

E D ICH T : Q u e S T ich Ö N T w Ö
Angenommen, der erste Spin repräsentiert das System, während der andere die Umgebung repräsentiert. Ihre Hamiltonian sind H ^ 1 = − μ B σ ^ 1 z B Und H ^ 2 = − μ B σ ^ 2 z B . Dann H ^ 12 = − J σ ^ 1 · σ ^ 2 stellt die Interaktion zwischen System und Umgebung dar. Meine Frage ist, was ist die reduzierte Dichtematrix des ersten Spins?

Die Exponentialfunktion eines Operators lässt sich am einfachsten in einer Eigenbasis berechnen. Hier solltest du fündig werden...

Antworten (1)

Es gibt vier State Kets | ↑ 1 ↑ 2 ⟩ , | ↑ 1 ↓ 2 ⟩ , | ↓ 1 ↑ 2 ⟩ , | ↓ 1 ↓ 2 ⟩ vier mögliche Konfigurationen der zwei Spins darstellend, sind die Eigenvektoren des Hamilton-Operators die lineare Kombination von ihnen. Es gibt vier Eigenvektoren und vier Eigenenergien.

Sie können die Eigenenergie auch auf Matrix-Weise erhalten. Schreiben Sie einfach die Matrixform des Hamiltonoperators auf, beachten Sie das σ 1 ⋅ σ 2 = σ 1 X σ 2 X + σ 1 j σ 2 j + σ 1 z σ 2 z sollte als direktes Produkt der Matrix verstanden werden. Ähnlich, μ B σ 1 z sollte verstanden werden als σ 1 z ⊗ ICH 2 .

Sobald Sie den Eigenwert erhalten, ist Ihre Matrixform von ρ ^ ist eine Diagonalmatrix [ e − β E 1 / Z , e − β E 2 / Z , e − β E 3 / Z , e − β E 4 / Z ]

Zu Ihrer zweiten Frage Sobald Sie den Eigenwert erhalten haben E 1 , E 2 , ⋯ und zugehöriger Eigenvektor | 1 ⟩ , | 2 ⟩ ⋯ , wird Ihr Dichtematrixoperator geschrieben als ρ ^ = e − β E 1 / Z | 1 ⟩ ⟨ 1 | + e − β E 2 / Z | 2 ⟩ ⟨ 2 | + ⋯

Expandieren | 1 ⟩ , | 2 ⟩ ⋯ unter Verwendung des Vierervektors | ↑ 1 ↑ 2 ⟩ , | ↑ 1 ↓ 2 ⟩ , | ↓ 1 ↑ 2 ⟩ , | ↓ 1 ↓ 2 ⟩ , können Sie Ihre Dichtematrix umschreiben ρ ^ . Die Matrix mit reduzierter Dichte ρ ^ R = T R 2 ( ρ ^ ) = ⟨ ↑ 2 | ρ ^ | ↑ 2 ⟩ + ⟨ ↓ 2 | ρ ^ | ↓ 2 ⟩

Ja, und ich habe die Antwort mithilfe von Mathematica gefunden. Danke für deine Hinweise. Beste Wünsche~
Außerdem, wenn wir setzen H 1 = μ B σ ^ 1 z B , Wie können wir also die Matrix reduzierter Dichte von Spinteilchen 1 finden?
@Roger209 Bitte kommentieren Sie Ihre Frage weiter, wofür wird H1 verwendet?
Hallo, ich habe einige Erklärungen zu meiner Frage oben gemacht. TKs.
@ Roger209 Bitte sehen Sie sich meine bearbeitete Antwort an, ich habe noch nie eine Matrix mit reduzierter Dichte berechnet, hoffe, das ist richtig.
Wie finden wir die kanonische Ensembledichtematrix für zwei Spins?
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