Beispiele für Dichteoperatoren ρ=∑npn|ϕn⟩⟨ϕn|ρ=∑npn|ϕn⟩⟨ϕn|\rho=\sum\limits_n p_n|\phi_n\rangle\langle\phi_n| in der die Zustände {|ϕn⟩}{|ϕn⟩}\{|\phi_n\rangle\} nicht orthogonal sind

Dieser Thread hat eine Menge falscher Aussagen von mehreren Seiten gesehen, daher ist es wahrscheinlich eine gute Idee, den Sachverhalt etwas detaillierter zu klären und einige weitere Beispiele dafür zu liefern, wie Ausdrücke dieser Form in der Praxis vorkommen .

Lassen Sie uns also einen kurzen Überblick über einige relevante Punkte geben.

• Die Definition einer Dichtematrix ist nur ein Operator$\rho:\mathcal H \to \mathcal H$das ist selbstadjungiert und positiv semidefinit (und Spurklasse if$\dim(\mathcal H)=\infty$) und deren Spur erfüllt

  $$\mathrm{Tr}(\rho)=1.$$ Noch wichtiger ist, dass dies alles ist , was die Definition erfordert. Jeder Operator, der diese Bedingungen erfüllt, kann zu Recht als Dichtematrix bezeichnet werden.

• Aus diesem Grund sind alle Operatoren, die in der OP-Form ausgedrückt werden können ,

  $$\rho = \sum_n p_n |\phi_n \rangle\langle \phi_n|, \tag{$*$}$$ sind gültige Dichtematrizen, solange die Komponentenprojektoren normalisiert sind$\langle \phi_n|\phi_n \rangle =1$und die Gewichte addieren sich zu$\sum_n p_n = 1$.

• Diese beiden Anforderungen sind die einzigen tatsächlichen Anforderungen. Keine der Bedingungen für Dichte-Matrix-Nähe ($\rho^\dagger=\rho$,$\rho\geq 0$, Und$\mathrm{Tr}(\rho)=1$) sind betroffen, wenn die$|\phi_n\rangle$nicht paarweise orthogonal sind oder wenn ihre Anzahl die Dimension des Zustandsraums überschreitet. Das bedeutet, dass es vollkommen in Ordnung ist, nicht-orthogonale Zustände in eine Darstellung der Form zu übernehmen$(*)$.

• Explizite Beispiele mit nicht-orthogonalen Projektoren sind trivial zu konstruieren. Die Antwort von Norbert Shuch enthält ein Beispiel, aber wenn Sie nach ihnen suchen, können Sie sie sofort erstellen, indem Sie einfach eine beliebige Sammlung von einheitennormalisierten Vektoren nehmen, die mit einheitennormalisierten Gewichten gewichtet sind$p_n$.

  Um ein solches Beispiel explizit zu geben, betrachten Sie den Raum mit zwei Ebenen$\mathcal H = \mathbb C^2$, und eine Folge von$N$Vektoren, die in gleichem Abstand entlang des Äquators seiner Bloch-Sphäre liegen und geben

  $$\rho = \sum_{n=0}^{N-1} p_n |\varphi_n\rangle\langle \varphi_n| \quad \text{for} \quad |\varphi_n\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( |0\rangle + e^{i 2\pi n/N} |1\rangle\bigg). \tag{$\star$}$$ Hier können die Gewichte solange beliebig sein$\sum_{n=0}^{N-1} p_n=1$; eine offensichtliche Wahl ist$p_n = 1/N$was den maximal gemischten Zustand ergibt$\rho = \frac12 \mathbb I$, aber es gibt noch viele andere Möglichkeiten.

• Darstellungen des Formulars$(*)$sind nicht einzigartig. Angenommen, Sie haben eine Dichtematrix$\rho$die Sie auf zwei verschiedene Arten als Summe normalisierter Projektoren darstellen konnten, sagen wir

  $$\rho = \sum_n p_n |\phi_n \rangle\langle \phi_n| = \sum_m q_m |\chi_m \rangle\langle \chi_m|, \tag{$**$}$$ Wo$\sum_n p_n = 1 = \sum_m q_m$Und$\langle \phi_n|\phi_n \rangle =1=\langle \chi_m|\chi_m \rangle$. Dann gibt es einige lockere Anforderungen an die beiden Sätze von Vektoren , beginnend mit der Tatsache, dass$\mathrm{span}\{|\phi_n\rangle\}$muss passen$\mathrm{span}\{|\chi_m\rangle\}$, aber im Allgemeinen das Layout der$|\phi_n\rangle$und das$|\chi_m\rangle$innerhalb dieser Zeitspanne kann sehr unterschiedlich sein . Dies wird im Beispiel deutlich$(\star)$oben mit gleichen Gewichten, wo$\rho$ist unabhängig von der Zahl$N$von Vektoren in Ihrer Sammlung, und es kann auch als dargestellt werden$\rho = \tfrac12 \left[ |0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1| \right]$.

• Darstellungen des Formulars$(*)$sind Interpretationen und wenig mehr. Es gibt einige physische Inhalte in der Aussage

  $$\rho = \sum_n p_n |\phi_n \rangle\langle \phi_n|, \tag{$*$}$$ nämlich, dass Sie den Systemzustand herstellen können$\rho$durch die Erzeugung der reinen Zustände$|\phi_n\rangle$mit Wahrscheinlichkeiten$p_n$und dann zu vergessen, welchen reinen Zustand du tatsächlich erzeugt hast. Das operative Wort dort ist jedoch "kann": die Tatsache, dass dieses Verfahren produzieren wird$\rho$sagt überhaupt nicht, dass es das einzig mögliche Verfahren ist, das diesen Zustand hervorbringt.

• Darstellungen implizieren nicht, dass die beteiligten Vektoren Eigenvektoren der resultierenden Dichtematrix sind. Das stimmt, wenn die Projektoren paarweise orthogonal sind, aber das ist überhaupt keine Voraussetzung, also ist es durchaus möglich, zu konstruieren$\rho$als Summe von Projektoren, die nichts mit den Eigenprojektoren der Summe zu tun haben.

  Es ist wahrscheinlich hilfreich, dies zur Verdeutlichung an einem expliziten Beispiel zu veranschaulichen. Stellen Sie sich ein Zwei-Ebenen-System vor, das in einer Überlagerung des Formulars vorbereitet ist

  $$|\theta_\pm\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle \pm \sin(\theta/2)|1\rangle,$$ dh ein Winkel$\theta$unten vom Nordpol der Bloch-Sphäre, außer dass wir jedes Mal eine faire Münze werfen, um zu sehen, welches Zeichen von$\theta$(also welche Richtung auf dem Nullmeridian) wir nehmen. Dann liest sich die Dichtematrix $$\begin{align} \rho & = \frac12 \bigg( |\theta_+\rangle\langle\theta_+| +|\theta_-\rangle\langle\theta_-| \bigg) \\ & = \frac12 \bigg( \big(\cos(\theta/2)|0\rangle + \sin(\theta/2)|1\rangle \big) \big(\cos(\theta/2)\langle 0| + \sin(\theta/2)\langle 1| \big) \\ & \qquad + \big(\cos(\theta/2)|0\rangle - \sin(\theta/2)|1\rangle \big) \big(\cos(\theta/2)\langle 0| - \sin(\theta/2)\langle 1| \big) \bigg) %\\ & = \frac12 \bigg( %\big(\cos^2(\theta/2)|0\rangle\langle 0| + \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|1\rangle %\langle 0| + \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|0\rangle \langle 1| + %\sin^2(\theta/2)|1\rangle\langle 1| \big) %\\ & \qquad + %\big(\cos^2(\theta/2)|0\rangle\langle 0| - \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|1\rangle %\langle 0| - \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|0\rangle \langle 1| + %\sin^2(\theta/2)|1\rangle\langle 1| \big) % \bigg) \\ & = \cos^2(\theta/2)|0\rangle\langle 0| + \sin^2(\theta/2)|1\rangle\langle 1| \end{align}$$ weil sich die nichtdiagonalen Terme aufheben. In dieser zweiten Darstellung haben wir orthogonale Projektoren, also hier$|0\rangle$Und$|1\rangle$sind in der Tat die eindeutigen Eigenvektoren von$\rho$(es sei denn$\theta=\pi/2$Und$\rho$ist maximal gemischt). Aber das hält unsere anfängliche Darstellung nicht auf,$\rho = \frac12 \left( |\theta_+\rangle\langle\theta_+| +|\theta_-\rangle\langle\theta_-| \right)$mit seinen nicht-orthogonalen Nicht-Eigenvektor-Komponenten ebenfalls wahr ist.

• Wenn ein Zustand mit nicht-orthogonalen Projektoren aufgebaut wird, dann hat er auch eine eigene Darstellung in Bezug auf orthogonale Projektoren , und das ist völlig in Ordnung. Darstellungen des Formulars$(*)$gibt es wie Sand am Meer, wenn man weiß, wo man suchen muss. Sie haben also eine gefunden, die nicht die kanonische ist: großartig! Es gibt Millionen, woher dieser kam.

• Darstellungen des Formulars$(*)$sind wirklich wie Sand am Meer. Wenn Sie selbst einen bauen möchten, z. B. für ein zweistufiges System, gibt es einige Punkte, die für das Rezept besonders relevant sind:

  • Die Pauli-Matrizen sind eine Grundlage für alle gültigen Dichtematrizen, dh wenn$\rho=\rho^\dagger$spurlos ist, dann kann es als dargestellt werden $$\rho = \tfrac12 \mathbb I + \vec p \cdot \vec \sigma,$$ Wo$\vec p = (p_x,p_y,p_z)\in \mathbb R^3$Und$\vec \sigma =(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$sind die Pauli-Matrizen. (Außerdem kann diese Beziehung umgekehrt werden über$\vec p = \mathrm{Tr}(\rho\vec\sigma)$.)
  • Die Positivitätsbedingung$\rho\geq 0$übersetzt in den Zustand$||\vec p||\leq 1$, dh$\vec p$lebt innerhalb des Einheitsballs oder seiner Begrenzung$-$in diesem Zusammenhang allgemein als Bloch-Kugel und Bloch-Kugel bekannt.
  • Wenn$|\vec p|=1$, dh$\vec p$liegt also auf der Blochkugelgrenze$\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$ist ein reiner Zustand, und wenn Sie schreiben$|\psi\rangle = \cos(\theta/2) |0\rangle + e^{i\varphi}\sin(\theta/2)|1\rangle$(was man immer kann) dann$\theta\in [0,\pi]$Und$\varphi\in[0,2\pi)$sind die polaren und azimutalen sphärischen Koordinaten für $$\vec p = (\sin(\theta)\cos(\varphi), \sin(\theta)\sin(\varphi), \cos(\theta).$$
  • Die Beziehung zwischen$\vec p$Und$\rho$ist linear und bijektiv.
  • Wenn$\rho_1$Und$\rho_2$gültige Dichtematrizen sind, dann jede konvexe Kombination $$\rho = q_1 \rho_1 + q_2 \rho_2$$ der beiden, mit Gewichten hinzufügen$q_1+q_2=1$, ist ebenfalls eine gültige Dichtematrix.
  • Da die Beziehung zwischen Dichtematrizen und Bloch-Ball-Vektoren linear ist, wird jede konvexe Kombination von Dichtematrizen direkt in eine konvexe Kombination der entsprechenden Bloch-Ball-Vektoren übersetzt. Also wenn$\rho_1 = \tfrac12 \mathbb I + \vec p_1 \cdot \vec \sigma,$ $\rho_2 = \tfrac12 \mathbb I + \vec p_2 \cdot \vec \sigma,$Und$\rho = q_1 \rho_1 + q_2 \rho_2$, Dann$\vec p= q_1 \vec p_1 + q_2 \vec p_2$liegt auf der Linie, die von geht$\vec p_1$Zu$\vec p_2$, eine Fraktion$q_1=1-q_2$des Weges in diese Richtung.

  Was bedeutet das also für Dichtematrixdarstellungen? Wenn Sie eine Zieldichtematrix haben$\rho$den Sie darstellen möchten, nehmen Sie einfach seinen Bloch-Ball-Vektor$\vec p = \mathrm {Tr}(\rho\vec\sigma)$, und wählen Sie dann aus$N$Punkte$\vec p_n$auf der Bloch-Kugel selbst (der Grenze) und Gewichten$q_n$(normiert auf$\sum_n q_n=1$) so dass ihr Durchschnitt$\sum_n q_n \vec p_n=\vec p$gibt Ihnen Ihren gewählten Punkt. Das gibt Ihnen dann natürlich eine Darstellung Ihrer Dichtematrix als gewichtete Summe von$N$Reinzustandsprojektoren, und Sie können die rechnerischen Basiskomponenten direkt aus den Kugelkoordinaten Ihrer gewählten Extremalpunkte ablesen.

Stellen Sie sich einfach ein zweistufiges System vor und nehmen Sie die drei Zustände$|0\rangle$,$|1\rangle$, Und$|+\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}$. Dann der gemischte Zustand

$$\rho = \tfrac13 |0\rangle\langle0| + \tfrac13 |1\rangle\langle1| + \tfrac13 |+\rangle\langle+|$$ ist ein Beispiel für das, wonach Sie fragen. (Natürlich hat es auch eine Eigenwertzerlegung, bei der die Vektoren orthogonal sind.)

Falls Sie auch keine (übervollständige) Grundlage bilden möchten, betrachten Sie dasselbe Beispiel einfach in einem dreidimensionalen Raum.

Ein weit verbreitetes Beispiel für eine derartige Darstellung sind sogenannte Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Betrachten Sie den harmonischen Oszillator. Sie können die orthonormale Koordinate verwenden$|x\rangle$, Schwung$|p\rangle$oder Focke$|n\rangle$Basen. Es gibt aber auch schöne Staaten,

$$\begin{equation} |\alpha\rangle=e^{\alpha a^\dagger - \alpha^\ast a}|0\rangle \end{equation}$$ als kohärente Zustände bekannt. Das sind Gaußsche Wellenpakete, die sowohl im Koordinaten- als auch im Impulsraum mit lokalisiert sind $\alpha=\langle x\rangle+i\langle p\rangle$. Es ist wichtig zu betonen, dass die kohärenten Zustände unterschiedlich sind $\alpha$sind nicht orthogonal.

Sie können eine beliebige Dichtematrix schreiben$\rho$für den harmonischen Oszillator als Integral über den Phasenraum,

$$\begin{equation} \rho=\int d^2\alpha\, P(\alpha,\alpha^\ast)|\alpha\rangle\langle\alpha| \end{equation}$$ Offensichtlich von der $\operatorname{Tr}\rho=1$folgt dem, $$\begin{equation} \int d^2\alpha\, P(\alpha,\alpha^\ast)=1 \end{equation}$$ und Sie können es oft als Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum behandeln.

Allerdings kommt hier "quasi" in die "Quasiwahrscheinlichkeit". Die Funktion$P(\alpha,\alpha^\ast)$darf in manchen Regionen negativ sein! Der$\rho$kann noch positiv definiert werden.

Sie können also solche Darstellungen natürlich in Betracht ziehen, aber denken Sie daran, einige$p_n$kann tatsächlich negativ sein.

Eigentlich die Menge der reinen Zustände$|\phi_{n}\rangle$die in der Mischzustandsdichtematrix erscheinen, müssen orthogonal und vollständig sein. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Dichtematrix ein hermitescher Operator ist,

$$\begin{equation}\begin{aligned} \rho^{\dagger} &= \sum_{n} p_{n} (\langle\phi_{n}|)^{\dagger} (|\phi_{n}\rangle)^{\dagger} \\ &= \sum_{n} p_{n} |\phi_{n}\rangle\langle\phi_{n}| = \rho \end{aligned}\end{equation}$$ seine Eigenwerte sind also reell und seine Eigenzustände sind orthogonal und bilden einen vollständigen Satz, der als Basis verwendet werden kann.

Tatsächlich sind seine Eigenzustände genau die reinen Zustände$|\phi_{n}\rangle$mit den Wahrscheinlichkeiten$p_{n}$die zugehörigen Eigenwerte sind,

$$\begin{equation}\begin{aligned} \rho |\phi_{n}\rangle&= \sum_{m}p_{m}|\phi_{m}\rangle\langle\overbrace{\phi_{m}|\phi_{n}\rangle}^{\delta_{mn}} \\ &=p_{n}|\phi_{n}\rangle \end{aligned}\end{equation}$$ also die Menge der reinen Zustände $\{|\phi_{n}\rangle\}$hat alle guten Eigenschaften, um als Basis verwendet zu werden. Eine andere Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, sich an die spektrale Zerlegung einer allgemeinen Matrix zu erinnern $A$, $$\begin{equation} A=\sum_{n}a_{n}P_{n} \end{equation}$$ Wo $P_{n}=|n\rangle\langle n|$ist der Projektoroperator, der auf den Eigenzustand projiziert $|n\rangle$mit zugehörigem Eigenwert $a_{n}$der Matrix $A$. Die Dichtematrix ist genau diese Erweiterung mit $|\phi_{n}\rangle$seine Eigenzustände und $p_{n}$die entsprechenden Eigenwerte.

Die einzige Feinheit hier ist, dass die Dichtematrix an$N\times N$Matrix mit$N$die Dimensionalität des Hilber-Raums, also muss die Dichtematrix, die Sie konstruieren, diese Dimensionalität berücksichtigen, unabhängig davon, ob Sie angeben, gemischt oder rein zu sein. Für einen reinen Zustand hätte man zum Beispiel eine Dichtematrix mit$N^2-1$Nullen in der Basis von$\{|\phi_{n}\rangle\}$wenn Sie sich also entscheiden, auf der Grundlage der reinen Zustände zu arbeiten$\{|\phi_{n}\rangle\}$, müssen Sie daran denken, sie alle zu berücksichtigen.