Ableitung der Fermi-Dirac-Verteilung?

Die Herleitung der Fermi-Dirac-Verteilung mit dem Dichtematrix-Formalismus geht wie folgt vor:

Die Einrichtung.

Wir nehmen an, dass der Ein-Teilchen-Hamilton-Operator ein diskretes Spektrum hat, also werden die Ein-Teilchen-Energie-Eigenzustände durch einen Index gekennzeichnet$i$die über eine endliche oder abzählbar unendliche Indexmenge läuft$I$. Eine Basis für den Hilbertraum des Systems ist die Besetzungszahlbasis

$$\begin{align} |\mathbf n\rangle = |n_0, n_1, \dots\rangle \end{align}$$ Wo $n_i$bezeichnet die Anzahl der Teilchen, die den Ein-Teilchen-Energie-Eigenzustand einnehmen $i$. Für ein System nicht wechselwirkender identischer Fermionen ist die Menge $\mathscr N_-$der zulässigen Berufsfolgen $\mathbf n$besteht aus diesen Sequenzen mit jedem $n_i$gleich entweder $0$oder $1$. Lassen $H$sei der Hamiltonianer für ein solches System, und sei $N$der Zahlenoperator sein, dann haben wir $$\begin{align} H|\mathbf n\rangle = \left(\sum_{i\in I}n_i\epsilon_i\right)|\mathbf n\rangle, \qquad N|\mathbf n\rangle = \left(\sum_{i\in I} n_i\right) |\mathbf n\rangle \end{align}$$ Wo $\epsilon_i$ist die Energie des Eigenzustands $i$. Wir können auch ein Observable definieren $N_i$das sagt uns die Besetzungsnummer der $i^\mathrm{th}$Energiezustand eines einzelnen Teilchens; $$\begin{align} N_i|\mathbf n\rangle = n_i|\mathbf n\rangle \end{align}$$

Beachten Sie, dass wir versuchen, die durchschnittliche Besetzungszahl des Ensembles zu bestimmen$j^\mathrm{th}$Energie Eigenzustand. Im Dichtematrixformalismus ist dies gegeben durch

$$\begin{align} \langle n_j\rangle =\mathrm{tr}(\rho N_i) \end{align}$$ Wo $$\begin{align} \rho = \frac{e^{-\beta(H-\mu N)}}{Z}, \qquad Z = \mathrm {tr}\big(e^{-\beta(H-\mu N)}\big) \end{align}$$

Der Beweis.

1. Zeige, dass $$\begin{align} Z = \sum_{\mathbf n\in \mathscr N_-}\prod_{i\in I}x_i^{n_i} \end{align}$$ Wo$x_j = e^{-\beta(\epsilon_j-\mu)}$, die Summe liegt über zulässigen Folgen$\mathbf n$der Besetzungszahlen von Einzelteilchen-Energiezuständen, und das Produkt ist über Indizes$i$Kennzeichnung einer orthonormalen Basis von Energieeigenzuständen einzelner Teilchen.
2. Zeigen Sie, dass die Ensemble-Durchschnittsbesetzungszahl der$j^\mathrm{th}$Der Zustand kann wie folgt berechnet werden: $$\begin{align} \langle n_j\rangle = x_j\frac{\partial}{\partial x_j}\ln Z \end{align}$$
3. Zeigen Sie, dass das Produkt und die Summe in der Partitionsfunktion "ausgetauscht" werden können, um zu geben $$\begin{align} Z = \prod_{i\in I}\sum_{n=0}^1 x_i^n \end{align}$$ wobei das Produkt nun über Einteilchenenergie-Eigenzuständen liegt und die Summe über zulässigen Besetzungszahlen eines Einteilchenzustands liegt.
4. Kombinieren Sie die Ergebnisse der Schritte 2 und 3, um dies zu zeigen $$\begin{align} \langle n_j\rangle = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}+1} \end{align}$$ was das gewünschte Ergebnis ist.